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Mittlere Temperatur

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: Mittlere Temperatur

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16:05 Uhr, 14.04.2014

Hi,
Ich habe folgende Funktion gegeben:
f(x)=20+60*e^(-0,4*x)
Nun soll ich die mittlere Temperatur im Intervall [1;5] bestimmen.

Mein Lehrer sagt, dass wir das noch nicht gehabt haben und ist darum nicht weiter auf die Aufgabe eingegangen.
Mich würde aber interessieren wie man darauf kommt.

Über eure Hilfe würde ich mich sehr Freuen. ;-)

EDIT: Die Funktion beschreibt die Temperatur f(x) in Abhängigkeit von der Zeit x.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

prodomo aktiv_icon

17:45 Uhr, 14.04.2014

Dafür müsstest du die Temperaturen zu allen Zeiten zusammenzählen und durch die Gesamtzeit teilen. Da die Zeit aber prinzipiell in jeder noch so kleinen Einheit

(z . B

. Microsekunden) gemessen werden kann, ist die Temperatur zu jedem möglichen x-Wert gefragt. Deren Summe wäre

\int_{1}^{5} f (x) \cdot d x

. Das müsste dann noch durch 4 geteilt werden. Anschaulich wird das klar, wenn du bedenkst, dass bei immer gleicher Temperatur das Integral eine Rechteckfläche ergäbe, weil die Höhe ja immer gleich ist. Wenn dir das Integral nichts sagt, ist das der Punkt, den dein Lehrer gemeint hat. Ein Integral zu berechnen, klappt mit der Stammfunktion

F (x),

wobei

F' (x) = f (x)

ist. Es läuft also gerade andersherum wie beim Ableiten, weswegen man oft auch aufleiten sagt.

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13:56 Uhr, 15.04.2014

Wenn ich jetzt aber das Integral berechne komme ich auf 160,25.
Du sagst ich soll das dann durch 4 Teilen =40,06.

Aber irgendwie müsste 73,4 rauskommen.

prodomo aktiv_icon

14:48 Uhr, 15.04.2014

Das Integral hast du korrekt berechnet, woher hast du die Musterlösung ?

prodomo aktiv_icon

14:53 Uhr, 15.04.2014

Egal woher, sie ist definitiv falsch. Die Funktion ist monoton fallend,

f (1) \approx 60

. Von dort geht es nur noch abwärts, wie soll dann

73

als Mittelwert herauskommen ? Zeichne den Graphen, dann siehst du, warum das nicht sein kann !

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15:12 Uhr, 15.04.2014

Ok, dann ist meine Lösung richtig?

Aber ich habe trotzdem nochmal eine Frage dazu: ;-)
Die Aufleitung entspricht doch der Fläche unter dem Grafen.
Warum ist diese dann die mittlere Temperatur und warum muss man das Ergebnis des Integrals noch durch 4 Teilen?
Das verstehe ich noch nicht ganz.

prodomo aktiv_icon

17:13 Uhr, 15.04.2014

Mittlere Temperatur = mittlere Höhe der Fläche (lies noch einmal den Absatz mit dem Rechteck in der ersten Antwort)

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17:22 Uhr, 15.04.2014

Ach ok,
darum auch durch 4, damit man wieder die Höhe bekommt.

A=h*b
--> h=A:b

(A-Fläche, b-Breite, h-Höhe)

Ok, das leuchtet mir ein.
Und die Breite ist ja 5-1=4

Ok, vielen Dank. :-)

anonymous

09:31 Uhr, 16.04.2014

Vielleicht noch zum Verständnis ein Zusatz:

Dass Du auf diese Weise den Mittelwert berechnest, wird Dir fast schon intuitiv klar sein, etwa bei einer Geschwindigkeitsfunktion

(z . B

. in km/h). Wenn Du nun etwa

\int_{1}^{5}

bestimmst, und eine Gesamtstrecke von

z . B

. 480km herausbekommst, wie schnell war der Fahrer dann im Schnitt?

Na, 480km in 4 Stunden, also

\frac{480}{4} = 120

km/h.

Der Mittelwert ist ja allgemein auch "Summe aller Werte, durch die Anzahl", bei Funktionen also

M W = \frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x

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10:40 Uhr, 16.04.2014

Ok, ich danke euch nochmals.
Eine letzte Frage habe ich noch.
Welche Einheit hat die Lösung des Integrals?
Grad*min ?

anonymous

10:54 Uhr, 16.04.2014

Ja! ;-)

Du hast oben allerdings nur angegeben, dass die Funktion die Temp in Abhängigkeit der ZEIT angibt - falls hier Minuten gegeben sind, stimmts.

Prinzipiell erhälst Du beim MW die gleiche Einheit, wie die Funktion selbst hat. Das Integral berechnet ja Flächen, also prinzipiell

f (x) \cdot x,

und beim MW rechnest Du wieder "durch

x

".

Bei Dir also °C/min*min=°C (der Wert des Integrals), das nun durch die Länge des Intervalls (bei Dir 4min), ergibt wieder °C/min (der MW).

edit: Sehe gerade, dass Du nach der Einheit der "Lösung des Integrals" gefragt hast - diese ist (siehe oben) nur °C. Erst nach dem Teilen durch die Länge des Intervalls - beim MW - erhältst Du wieder °C/min..

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11:00 Uhr, 16.04.2014

Bist du dir mit deinem EDIT sicher?
Das Integral ist doch die Fläche unter dem Grafen.
Und die setzt sich aus Zeit*Grad zusammen.

anonymous

11:06 Uhr, 16.04.2014

Es kommt auf deine Funktion an: Du sagst, "die Funktion gibt die Temperatur in Abhängigkeit der Zeit" an, soll das "

f (x)

in °C/min " heißen (und

x

dann in

min)

?

Falls

f

nur die °C angibt (als Bestand), so (ist meine letzte Antwort falsch) läßt sich der Wert des Integrals nur als "Summe der Temperaturen" interpretieren..

anonymous

11:12 Uhr, 16.04.2014

PS: Du hast Recht und es auch richtig formuliert. In meinem Fall

- f (x)

in °C/min, würde die Funktion natürlich die TemperaturÄNDERUNG in Abhgkt. der Zeit angeben. (normalerweise ist das in der Schule so, daher hab ich's falsch aufgefasst.. sorry)

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11:14 Uhr, 16.04.2014

Ja, das macht ja nichts.
Kann jedem mal passieren.
Darum hab ich ja nachgefragt ;-).

Nochmals vielen Dank an alle.

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