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Mittlere & momentane Änderungsrate

Schüler

Tags: Anaysis, Änderungsrate, Graph, mittlere, momentan

emfin aktiv_icon

17:53 Uhr, 22.02.2013

Hallo!

Ich wiederhole gerade Analysis Aufgaben und hab ein Problem mit mittleren/momentanen Änderungsraten. Vielleicht kann ich ja mein Problem an einem Beispiel deutlich machen:

In einem Versuch wird ein Körper erhitzt und dann wieder abgekühlt und seine Temperatur während des Abkühlens wird durch die Funktion

T (x) = 20 + 80 \cdot e^{- 0,01 \cdot t}

beschrieben. Die Abkühlungsgeschwindigkeit des Körpers wird durch die Ableitung von

T

beschrieben, also

T' (x) = - 0,8 \cdot e^{- 0,01 \cdot t}

.
So,dann soll man die mittlere Abkühlungsgeschwindigkeit des Körpers während der ersten 120sek berechnen und das macht man mit der Formel

\frac{T (120) - T (0)}{120 - 0}

. Die mittlere Änderungsrate der Abkühlungsgeschwindigkeit wird mit

\frac{T' (120) - T' (0)}{120 - 0}

beschrieben. Die momentane Änderungsrate der Abkühlungsgeschwindigkeit wird mit

\frac{T'' (120) - T'' (0)}{120 - 0}

beschrieben.

Nun ist meine Frage, warum man die Formel

\frac{T (120) - T (0)}{120 - 0}

für die Berechnung der mittleren Abkühlungsgeschwindigkeit benutzt und nicht

\frac{T' (120) - T' (0)}{120 - 0}

? Schließlich beschreibt doch die Funktion

T' (x) = - 0,8 \cdot e^{- 0,01 \cdot t}

die Abkühlungsgeschwindigkeit und nicht

T (x) = 20 + 80 \cdot e^{- 0,01 \cdot t}

oder?
Und was ist die momentane Änderungsrate und was bringt sie mir? Ich weiß nicht mehr genau wie man Änderungsraten bestimmt und was sie bedeuten...Wäre super,wenn mir da jemand helfen könnte!

MfG, emfin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Aurel

01:05 Uhr, 23.02.2013

Die Abkühlungsgeschwindigkeit hat die Einheit

\frac{K}{s}

(Kelvin pro Sekunde)

der Term

\frac{T (120) - T (0)}{120 - 0}

besitzt in deiner Rechenaufgabe ebenfalls die Einheit

\frac{K}{s}

- du dividierst ja Temperatur durch Zeit, also:

\frac{T (120) K - T (0) K}{120 s - 0 s}

T' = \frac{d T}{d t}

hat ebenfalls die Einheit

\frac{K}{s},

aber

\frac{T' (120) - T' (0)}{120 - 0}

die Einheit

\frac{K}{s^{2}},

denn wenn man die Einheiten dazu notiert lautet dieser Term:

\frac{T' (120) \frac{K}{s} - T' (0) \frac{K}{s}}{120 s - 0 s},

somit kann dieser Term keine Abkühlungsgeschwindigkeit darstellen, er beschreibt die Änderung der Abkühlungsgeschwindigkeit im Mittel, also die mittlere Änderungsrate der Abkühlungsgeschwindigkeit

die momentane Abkühlungsgeschwindigkeit

v = T' (t)

die momentane Änderungsrate der Abkühlungsgeschwindigkeit

a = T'' (t)

\frac{T'' (120) - T'' (0)}{120 - 0}

ist die mittlere Änderungsrate der Änderungsrate der Abkühlungsgeschwindigkeit

mit der Einheit

\frac{K}{s^{3}}

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

was bringen momentane Änderungsraten:

Bsp.: der Tacho im Auto zeigt die momentane Änderungsrate des zurückgelegten Weges

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