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Modulform zeigen

Universität / Fachhochschule

Tags: Eisensteinreihe, Modulformen

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22:16 Uhr, 02.12.2024

Hey
ich beschäftige mich gerade mit Modulformen und bin mir nicht sicher, ob ich alles richtig verstanden habe und komme bei einer Aufgabe nicht weiter.

Die Aufgabe lautet:
Sei

N \geq 2

. Zeige:

G_{2, N} (z) := G_{2} (z) - N G_{2} (N z) \in M_{2} (Γ_{0} (N))

Dabei ist

G_{2} (z)

die Eisensteinreihe vom Gewicht

k

Wir hatten bereits gezeigt, dass

(G_{2} ∣_{2} γ) (z) = G_{2} (z) - \frac{2 π i c}{c z + d}

für

γ \in S L_{2} (ℤ)

gilt.

Mein Ansatz:

Γ_{0} (N)

ist eine Teilmenge von

S L_{2} (ℤ)

mit

c \equiv 0

(m o d

N)

Wir müssen zeigen, dass

(G_{2, N} ∣_{2} γ) (z) = G_{2} (z)

für alle

z \in ℍ, z \in Γ_{0} (N)

∣_{2}

ℂ - l i n e a r

ist, können wir

G_{2} (z)

und

N G_{2} (N Z)

seperat betrachten.

Stimmt dieser Anfangsgedanke? Denn ich komme nicht weiter.

Bei

G_{2} ∣_{2} (z) = G_{2} (z) - \frac{2 π i c}{c z + d}

hätte ich gedacht, der hintere Term fällt durch die Eigenschaft

c \equiv 0

(m o d

N)

weg. Jedoch müsste dann doch auch der ganze Rest mit

N * G_{2} (N Z)

wegfallen, da

N \equiv 0

(m o d

N)

.

Deshalb bin ich verwirrt und komme nicht weiter, ich glaube ich habe da etwas noch nicht richtig verstanden.

Ich würde mich über Hilfe freuen :-)
Felix

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