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Modulo-Rechnen

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Tags: modulo

ruuckiii aktiv_icon

14:19 Uhr, 18.04.2021

Hallo,

ich bräuchte Eure Hilfe!

Kann mir jemand den Rechenweg zeigen bzw. auch kurz erklären, was es mit "z7" auf sich hat in der Aufgabenstellung. Also wo wäre auch der Unterschied - ob da nun

z 7

oder

z 6

oder

z 1589

steht?

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

14:54 Uhr, 18.04.2021

Hallo,

ist das nicht in der Vorlesung Thema gewesen? (Es ist eine wirklich grundlegende Frage, die du da stellst.)

Das modulo-Rechnen ist das so genannte Teilen mit Rest.
Alle Zahlen, die beim Teilen durch den Modul den selben Rest lassen, gelten als gleich.
Beispiel: Modul sei

m = 5

. Dann sind dort die Zahlen

" 0 " = {\dots, - 5, 0, 5, 10, \dots}

" 1 " = {\dots, - 4, 1, 6, 11, \dots}

" 2 " = {\dots, - 3, 2, 7, 12, \dots}

" 3 " = {\dots, - 2, 3, 8, 13, \dots}

und

" 4 " = {\dots, - 1, 4, 9, 14, \dots}

.

Ich schreibe diese neuen Zahlen in Anführungszeichen. Alleine die Tatsache, dass - um beim Beispiel

m = 5

zu bleiben - in den ganzen Zahlen

ℤ

eben NICHT

2 + 3 = 0

gilt, verdeutlicht, dass diese Zahlen nicht die gleichen sind. Insofern verbietet sich auch die Benutzung der gleichen Symbole.
Es hat sich in der Literatur statt der Anführungszeichen durchgesetzt,

\overline{0}

[0]

aber auch einfach doch wieder

0

zu schreiben.
Wenn klar ist, wann was gemeint ist, braucht man keine neue Symbolik.
Ich verwende von hier ab gerne den Balken:

\overline{0} = {z \in ℤ ∣ 5 ∣ z} = {\dots, - 10, - 5, 0, 5, 10, \dots}

Das gute an diesen neuen Zahlen ist, dass sie doch nicht sooo verschieden sind.
Es gilt z.b. das Assoziativgesetz (sowohl für Addition, als auch Multiplikation) weiter:

\overline{a} \overset{\cdot}{+} (\overline{b} \overset{\cdot}{+} \overline{c}) = (\overline{a} \overset{\cdot}{+} \overline{b}) \overset{\cdot}{+} \overline{c}

Um es etwas abzukürzen:

(ℤ_{m}, +, \overline{0}, -, \cdot, \overline{1})

ist auch wieder ein kommutativer Ring (wie es auch

(ℤ, +, 0, -, \cdot, 1)

ist).

Vielleicht fragst du dich, wie man darin rechnet?
Die gute Nachricht: Bei "

+

", "

-

" und "

\cdot

" genauso, wie in

ℤ

. Nur das Teilen wird komplizierter, wenn es denn überhaupt möglich ist.
Du kannst z.b.

\overline{3} + \overline{4} = \overline{7}

rechnen. Ob es eine kleinere, nicht negative Zahl

\overline{k}

gibt, sodass

\overline{7} = \overline{k}

gilt, das steht auf einem anderen Blatt. Das hängt hochgradig vom Modul

m

ℤ_{m}

ab.

Das einzige, was man nun (neu) lernen muss, ist die Division: Man kann genau dann im

ℤ m

durch eine Zahl

\overline{k}

teilen, wenn

ggT (k, m) = 1

gilt.
Mithilfe des euklidischen Algorithmus kann man dann

u, v \in ℤ

finden, sodass

u \cdot k + v \cdot m = 1

gilt. Insbesondere gilt

\overline{k} \cdot \overline{u} = \overline{1}

.

Bei kleinen Moduln würde ich aber per Probieren nach dem "Kehrwert" suchen. Das geht (insbesondere in deinem Beispiel) erheblich schneller.

Wenn du nun so eine Gleichung wie

3 x + 3 = 1

mod 5 hättest, so könntest du also genauso rechnen, wie in

ℤ

3 x + 3 = 1 ∣ - 3

3 x = - 2 ∣ \div 3

Hier kommt die Schwierigkeit: Kehrwert von

\overline{3}

ist

\overline{2}

, da

\overline{3} \cdot \overline{2} = \overline{6} = \overline{1}

3 x = - 2 ∣ \cdot 2

x = - 4

bzw. genauer:

x = \overline{- 4} = \overline{1} = {\dots, - 9, - 4, 1, 6, \dots}

Ich hoffe, es ist nicht zu durcheinander geworden, denn ich finde die Schreibweise bei euch suboptimal.
Entweder schreibe ich in Zusammenhang mit dem "mod" ein "

\equiv

", oder ich weiche auf die Balkenschreibweise aus.
Soll heißen:
Entweder schreibe ich eure Aufgabe als

\overline{4} x + \overline{5} = \overline{3}

(und muss mir dann den Modul

m

irgendwie gesondert merken), oder ich schreibe:

4 x + 5 \equiv 3

mod 7.

Aber das ist vermutlich Geschmackssache.

Mfg Michael

EDIT: Rechnen müsste man können... :/

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