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Möbiustransformation

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Komplexe Analysis

Tags: Euklidische Ebene, Geometrie, Komplexe Analysis, Möbiustransformation, Sonstig

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13:34 Uhr, 05.05.2017

H

Element von

C

die obere Halbebene

a, b, c, d

Element von

R,

sodass ad-bc= 1
und

f (z) :=

(az

+

b)/(cz

+ d)

a)

Zeige, dass für jedes

z

Element

H

(obere Halbebene) auch

f (z)

Element

H

ist

b)

bestimme zu der Funktion die reelle Funktion mit

f (x +

iy)

= u (x, y) +

iv(x,y)

kurz gefasst: ich komme nicht weiter. Dass es die Möbiustransformation ist, habe ich verstanden, aber da ist ja ad-bc=0 !?
Meine bisherigen Überlegungen waren dennoch:

a)

f (1) = 0 \to a = - b

f (0) = \frac{b}{d} = 1 \to d = b

f (i) =

(ai-a) / (ci-a) = unendlich

\to c =

-ia

und

b)

hab ich ehrlich gesagt gar keinen Schimmer... Es geht wohl um Real und Imaginärteil glaube ich, aber ich steige da nicht hinter.... Für Lösungen oder Lösungsansätze wäre ich dankbar! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

14:15 Uhr, 05.05.2017

Hallo,

in der Tat handelt es sich um Möbiustranformationen, für die übrigens
allgemein

a d - b c \neq 0

gilt und nicht

= 0

, wie du schreibst.
Du betrachtest aber hier nur ganz bestimmte Möbiustransformationen,
nämlich nur die, für welche

a, b, c, d

reelle Zahlen sind, für die
nun speziell sogar

a d - b c = 1

gilt.

Die obere Halbebene

H

ℂ

ist definiert durch

H = {z = x + i y \in ℂ ∣ I m (z) = y > 0}

.

Du musst also bei a) zeigen,
dass für jedes

z = x + i y

mit

y > 0

gilt:

I m (f (z)) > 0

.

Am besten, du löst erst b); denn dann hast du ja in

v (x, y)

den Imaginärteil
von

f

.

Gruß ermanus

fini0205 aktiv_icon

10:12 Uhr, 07.05.2017

Könntest du mir bei der Lösung helfen? Ich komm einfach auf kein Ergebnis...

ermanus aktiv_icon

10:27 Uhr, 07.05.2017

Klar mach ich das!

Fangen wir mal an, indem wir

z = x + y i

setzen und in

f

einsetzen:

f (x + y i) = \frac{a (x + y i) + b}{c (x + y i) + d} = \frac{a x + b + a y \cdot i}{c x + d + c y \cdot i}

Nun mache den Nenner reell, indem du mit dem komplex konjugierten des Nenners,

also mit cx+d-cyi, den Bruch erweiterst, dann Zähler und Nenner
ausmultiplizieren und das ganze nach Realteil und Imaginärteil aufteilen.

Gruß ermanus

fini0205 aktiv_icon

10:57 Uhr, 07.05.2017

Ich bin in dem Thema einfach nicht drin...

steht dann im Zähler: cax²

+

bcx

+

acxyi

+

dax

+

+

dayi - cyiax - cyib - acy²i²
und im Nenner: c²x²

+ 2 c d x -

d²- cy²i²

Kann ich dann sagen, dass der Im-Teil = (dayi-acy²i²) / (cy²i²)

ermanus aktiv_icon

13:24 Uhr, 07.05.2017

Hallo,

du hast noch nicht ausgenutzt, dass

i^{2} = - 1

ist und in deinem
Nenner hast du dich wohl verrechnet, es muss

+ d^{2}

, nicht

- d^{2}

heißen.
Im Zähler heben sich

+ a c x y i

und

- c y i a x

gegenseitig weg.
Wenn wir das alles berücksichtigen, bekommen wir
im Zähler

a c x^{2} + a c y^{2} + a d x + b c x + b d + (a d - b c) \cdot i

und im Nenner den reellen (!) Ausdruck

(c x + d)^{2} + c^{2} y^{2}

.

So erhalten wir

f (x + y i) = \frac{a c x^{2} + a c y^{2} + a d x + b c x + b d}{(c x + d)^{2} + c^{2} y^{2}} + \frac{a d - b c}{(c x + d)^{2} + c^{2} y^{2}} \cdot i

.

Der Imaginärteil von f(x+yi) ist also, wenn man noch

a d - b c = 1

bedenkt:

\frac{1}{(c x + d)^{2} + c^{2} y^{2}}

und das ist

> 0

, da der Nenner

> 0

ist.

Damit gilt

f (x + y i) \in H

.

Gruß ermanus

fini0205 aktiv_icon

13:48 Uhr, 07.05.2017

Klasse, vielen Dank.
und wie zeige ich jetzt am Besten für

a,

dass z=x+iy mit

y > 0

gilt: Im(f(z))>0?

ermanus aktiv_icon

14:53 Uhr, 07.05.2017

Oh sorry, ich habe statt

"

(a d - b c) y \cdot i

" aus Versehen nur "

(a d - b c) \cdot i

" geschrieben.

Also ist nach dieser Korrektur dann

I m (f (z)) = \frac{(a d - b c) y}{(c x + d)^{2} + c^{2} y^{2}} = \frac{y}{(c x + d)^{2} + c^{2} y^{2}} .

Und das ist

> 0

, wenn

y > 0

ist, da der Nenner als Summe von Quadraten
positiv ist.

fini0205 aktiv_icon

15:14 Uhr, 07.05.2017

Klasse, vielen Dank und Fehler passierem jedem mal. Mir ist es nicht mal mehr aufgefallen

\frac{:}{}

und wie zeige ich jetzt am Besten für

a,

dass z=x+iy mit

y > 0

gilt: Im(f(z))>0?

ermanus aktiv_icon

15:24 Uhr, 07.05.2017

Oh, jetzt verstehe ich dich nicht :-(
Genau das habe ich dir doch gerade bewiesen ...

fini0205 aktiv_icon

15:31 Uhr, 07.05.2017

Ach entschuldige, ich habe a und

b

vertauscht...
Aufgabe b)war ja: bestimme zu der Funktion die reelle Funktion mit

f (x +

iy)

= u (x, y) +

iv(x,y)
Muss ich da jetzt das selbe machen nur statt

z

setze ich

f (

x+iy) ein oder wie gehe ich da am besten vor?

ermanus aktiv_icon

15:37 Uhr, 07.05.2017

Du brauchst in der Tat gar nichts mehr zu machen;
denn der erste Bruch ist dein

u (x, y)

und der zweite, also der
Imaginärteil von

f

ist dein

v (x, y)

fini0205 aktiv_icon

15:44 Uhr, 07.05.2017

Ich zeige dir mal die Aufgabenstellung. Da kann ich ja nicht nur sagen, dass das ja schon bewiesen ist, oder?

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