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"Möndchen" über Quadrate

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Tags: Sonstiges

klatschmir aktiv_icon

20:20 Uhr, 25.11.2009

"Möndchen" über Quadrat Bestimmen Sie den Inhalt der gelb markierten "Möndchen" und vergleichen Sie diese mit dem Flächeninhalt des roten Quadrates mit der Seitenlänge

a!

Kosekans aktiv_icon

22:46 Uhr, 25.11.2009

de.wikipedia.org/wiki/Möndchen_des_Hippokrates

klatschmir aktiv_icon

19:37 Uhr, 26.11.2009

ja und wie mach ich das?

hagman aktiv_icon

19:58 Uhr, 26.11.2009

Summe vierer Halbkreise mit Seitenlänge als Durchmesserund eines Quadrates minus Kreis mit Diagonale als Durchmesser

Shipwater aktiv_icon

20:03 Uhr, 26.11.2009

Man ziehe vom Kreis mit Radius

r

das Quadrat mit Seitenlänge a ab. Übrig bleiben die 4 weißen Kreissegmente.

Nach Pythagoras gilt

a^{2} + a^{2} = {(2 r)}^{2} \Leftrightarrow 2 a^{2} = 4 r^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} a^{2} = r^{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} a = r

Der Flächeninhalt des Kreises ist also:

π \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2} a)}^{2} = \frac{π}{2} \cdot a^{2}

Davon das Quadrat mit Flächeninhalt

a^{2}

abgezogen:

\frac{π}{2} \cdot a^{2} - a^{2}

Zieht man nun von den 4 Halbkreisen mit Durchmesser a die Kreissegmente ab erhält man die Möndchen.
Die 4 Halbkreise haben eine Fläche von

4 \cdot \frac{1}{2} \cdot π \cdot {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{π}{2} \cdot a^{2}

Halbkreise - Kreissegmente:

\frac{π}{2} \cdot a^{2} - (\frac{π}{2} \cdot a^{2} - a^{2}) = \frac{π}{2} \cdot a^{2} - \frac{π}{2} \cdot a^{2} + a^{2} = a^{2}

\Rightarrow

Die Fläche der Möndchen entspricht also der Fläche des Quadrates.

Gruß Shipwater

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