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Momentenschätzer (Taxiproblem)

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Tests

Tags: momentenschätzer, test

Malou2016 aktiv_icon

23:11 Uhr, 02.01.2023

Die Taxis in einer Stadt sind von

1

bis

N

durchnummeriert.

N

ist jedoch nicht bekannt. Die an einer Straße vorbeifahrenden Taxis werden beobachtet und die Nummern notiert. Es wird dabei angenommen, dass jedes Taxi mit der gleichen Wahrscheinlichkeit und unabhängig voneinander vorbeifährt.
Schätze mithilfe der Momentenmethode die Anzahl der Taxis

N

.

Bisher habe ich folgendes:

T_{n}

ist gleichverteilt auf

1, \dots, N

T_{n} (X_{k}) = \frac{1}{N}

E X = \sum_{k = 1}^{n} k \frac{1}{N} = \frac{N + 1}{2}

Also ist

\hat{N} = 2 \overline{X} - 1

Passt das soweit? Und Weinjahr ist das ausreichend, oder muss ich noch etwas ergänzen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

08:31 Uhr, 03.01.2023

Das Endergebnis mag richtig sein, aber was du da mit dem

T_{n}

rumoperierst ist schleierhaft. Was soll

T_{n}

überhaupt bei dir bedeuten: Einerseits sagst du, dass es gleichverteilt ist, d.h.

T_{n}

ist dann eine Zufallsgröße (womöglich die Nummer des

n

-ten vorbeifahrenden Taxis?). Dann aber sprichst du von

T_{n} (X_{k})

und führst damit ein

X_{k}

unbekannter Bedeutung ein ... ich bin verwirrt.

EDIT: Ah Ok, jetzt ahne ich was du mit deiner missverständlichen Ausdrucksweise tatsächlich meinst.

T_{n}

ist bei dir die Wahrscheinlichkeitsfunktion (bzw. diskrete Dichte) der Gleichverteilung auf

{1, \dots, N}

, und

X_{k}

ist die Zufallsgröße "Nummer des

k

-ten vorbeifahrenden Taxis" - sollte das dann aber nicht besser

T_{N}

statt

T_{n}

heißen?

Die eigentliche Rechnung lautet dann aber

E (X_{k}) = \sum_{j = 1}^{N} j \cdot T_{N} (j) = \frac{N + 1}{2}

für alle

k = 1, \dots, n

,

und als Schätzer für diesen Erwartungswert nimmt man den Stichprobenmittelwert

\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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