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Monoton Fallend mit Bernoulli Ungleichung zeigen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Bernoulli Ungleichung, Folgen und Reihen, Ungleichung

 
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malibu97

malibu97 aktiv_icon

18:53 Uhr, 05.02.2019

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Nabend! Die Ana 1 Klausur rückt näher und ich habe noch ein paar Fragezeichen bei folgender Aufgabe.

bn:=(1+1n)n+1 n∈ℕ

Zeigen sie mit Hilfe der Bernoulli Ungleichung, dass bnmonoton fallend und nach unten beschränkt ist.

Zeigen sie außerdem, dass die Limiten von bn und (1+1n)n existieren und übereinstimmen.





Die Aufgabe kann nicht so schwierig sein, aber ich lerne gerade primär die späteren Kapitel und komme nicht drauf, wie ich die Ungleichung anwenden soll. Vllt. hat ja jemand Lust, sich der Aufgabe zusammen mit mir anzunehmen!


LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
HAL9000

HAL9000

10:06 Uhr, 06.02.2019

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Du willst bn-1≥bn nachweisen? Einsetzen und äquivalent umformen ergibt

(1+1n-1)n≥(1+1n)n+1

(nn-1)n≥(n+1n)n+1∣⋅nn-1(nn+1)n+1

(n2n2-1)n+1≥nn-1

(1+1n2-1)n+1≥1+1n-1.

Wenn du die letzte Ungleichung ganz scharf ansiehst, dann erkennst du die Bernoullische Ungleichung (1+x)m≥1+mx mit passend gewählten m,x.


Die Beschränkung nach unten ist nun gar kein Problem, denn bn>1 gilt offensichtlich.
Frage beantwortet
malibu97

malibu97 aktiv_icon

11:34 Uhr, 06.02.2019

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Ideal Danke!