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Monotonie: Rekursive Folge mit Intervall

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rx1974

rx1974 aktiv_icon

12:38 Uhr, 18.12.2012

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Hallo zusammen,

zu zeigen ist, dass die Folge monoton fallend ist:

xn+1:=xn²-2xn+2 und x1:=a∈[1,2]

Mir fehlt da der Ansatz völlig, da x1 ja mit einer Zahl aus dem Intervall startet. Das sind unendlich viele. Ich habe es zunächst versucht mit

xn+1-xn≤0

⇒xn2-2xn+2-xn≤0

⇔xn2-3xn≤2

Das stimmt zwar für alle xn∈[1,2] mit denen ich starte, aber das beweißt ja noch gar nichts. Der Versuch das ganze mit vollständiger Induktion zu lösen stellte mich auch vor Probleme, weil ich es doch da mit unendlich vielen Induktionsanfängen zu tun habe oder?

Ein paar Tipps wären sehr nett, dankeschön :-)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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anonymous

anonymous

12:46 Uhr, 18.12.2012

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Zur Angabe:
n∈ℕ
a=?
rx1974

rx1974 aktiv_icon

12:48 Uhr, 18.12.2012

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Es ist n∈ℕ, und über a weiß ich nur a∈[1,2], denke mal, es ist das Intervall ist ℝ gemeint.
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anonymous

anonymous

12:55 Uhr, 18.12.2012

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≤-2?
rx1974

rx1974 aktiv_icon

13:50 Uhr, 18.12.2012

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Was genau meinst du mit diesem Hinweis? :-)
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anonymous

anonymous

13:54 Uhr, 18.12.2012

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xn2-3⋅xn≤-2
( Hilft aber auch nicht viel )
Für a=1 und a=2 haben wir eine konstante Folge.
Für 1<a<2 sollte die Folge nach 1 konvergieren.
Antwort
Edddi

Edddi aktiv_icon

14:22 Uhr, 18.12.2012

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... um die fallende Monotonie zu zeigen, sollte es reichen zu zeigen, das:

xn+1≤xn

⇒xn2-2⋅xn+2≤xn

⇒(xn-1)2+1≤xn

⇒(xn-1)2≤(xn-1)

für den Startwert 1≤xn≤2 ergibt sich 0≤(xn-1)≤1 und somit

0≤(xn-1)2≤1 mit (xn-1)2≤(xn-1)

;-)
Frage beantwortet
rx1974

rx1974 aktiv_icon

16:20 Uhr, 18.12.2012

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Danke euch beiden! :-)