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Monotonie einer Wurzelfolge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Monotonieverhalten, Wurzelfolgen

Hilarius

15:48 Uhr, 05.12.2017

Ahoi!

Ich hab grad ein Brett vorm Kopf, man möge mich bitte erlösen:

Zu zeigen ist die Monotonie der Folge

a_{n} := \sqrt{n^{2} + 3 n + 3} - \sqrt{n^{2} + 2 n}

Beschränktheit hab ich problemlos abschätzen können, allein mich "fuchst" die Monotonie.

Alternative Darstellungen:

a_{n} = \frac{\sqrt{n + 2}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{n + 2}{\sqrt{n^{2} + 3 n + 3} + \sqrt{n^{2} + 2 n}}

Womöglich hab ich mich verrechnet, aber mir gelingts nicht zu zeigen, dass

a_{n + 1} \geq a_{n}

(oder halt das Gegenteil) der Fall ist.

Bitte um Hilfe
(ein "Zaunpfahlschlag" in die richtige Richtung sollt vermutlich ausreichen :-) )

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

rundblick aktiv_icon

16:24 Uhr, 05.12.2017

.
wenn

a_{n} = \sqrt{n^{2} + 3 n + 3} - \sqrt{n^{2} + 2 n}

richtig ist

dann sind deine beiden Nativen Darstellungen falsch

Tips:
überprüfe selbst und berechne jeweils mal zB

a_{1}

wende beim Erweitern die dritte Binomformel RICHTIG an

.

Hilarius

17:24 Uhr, 05.12.2017

Danke fürs Input! :-)
Hab mich vertippt und dann Copy&Pasted <.<
(aber auf Nummer sicher hab ichs nochmal nachgerechnet):

a_{n} := \sqrt{n^{2} + 3 n + 2} - \sqrt{n^{2} + 2 n}

\frac{n + 2}{\sqrt{n^{2} + 3 n + 2} + \sqrt{n^{2} + 2 n}} =

\frac{\sqrt{n + 2}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

Aber wie gesagt, Brett ist immer noch da leider - Ich bekomm die Aussage weder durch direktes ausrechnen und umformen, noch irgendwie induktiv oder sonst wie einsichtig gebacken.

rundblick aktiv_icon

17:55 Uhr, 05.12.2017

.
ok - jetzt, für dieses neue

a_{n},

sind deine Nativen alternativlos richtig ..

" aber mir gelingts nicht zu zeigen, dass

a_{n + 1} \geq a_{n}

\to

kein Wunder .. denn deine Folge ist monoton FALLEND mit dem Grenzwert

\frac{1}{2}

Hilarius

18:13 Uhr, 05.12.2017

Ahoio, und danke nochmal für deine Zeit! :-)

Bins gewohnt mal einfach ne Annahme hinzuklotzen - ggf. korrigiert sich die dann im Verlauf der Umformung/Lösung von selbst und man würde dann einsichtig sehen dass

a_{n + 1} \leq a_{n}

ist. Das Ungleichheitszeichen ist ja fürs rechnen erstma nur ein Platzhalter, wenn das, was am Ende rauskommt widersprüchlich ist, hätt ichs halt umgedreht :-D)

das ist nich das Problem; mir scheint, es sollt irgendeine "elegante" Umformung oder Abschätzung oder so geben, dass ich am Ende nicht vor Aussagen stehe, deren Wahrheitsgehalt nicht sofort einsichtig ist;

z.B. beim Zeigen der Beschränktheit kam ich recht zügig auf

a_{n} = \frac{\sqrt{n + 2}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \leq \frac{\sqrt{n + n}}{\sqrt{n} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

(\forall n \geq 2

)

Bei der Monotonie hingegen komm ich nicht zu solch einsichtigen Sachen, da stehen dann Wurzelterme, die man nur schwer "einschätzen" kann, und die Wurzeln wegzubringen ist "grauselig"...
Drum, gibts vielleicht nen Tipp, ein Schlupfloch, irgendwas, das ich nicht sehe? :-D)

abakus

18:30 Uhr, 05.12.2017

Möglicherweise bekommst du etwas "Verdauliches", wenn du den Quotienten

a_{n + 1} : a_{n}

bildest und diesen auswerten kannst...

Hilarius

18:52 Uhr, 05.12.2017

Danke für den Anstoss - die Möglichkeit hat ich bis jetzt komplett ausgeblendet!
(Schön langsam tut dass Beispiel weh, aber wie sagt schon mein Sportlehrer damals: "Das Lauftraining ist erst effizient, wenn du Blut schmeckst!" :-) )

Komm trotzdem nicht zum Schluss:

a_{n + 1} \leq a_{n} \Leftrightarrow \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

\leq 1

(a_{n} > 0 \forall n)

Also nach Einsetzen:

\frac{\sqrt{n + 3} (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 2} (\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1})} \leq \frac{\sqrt{n + 3} (\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1})}{\sqrt{n + 2} (\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1})} = \frac{\sqrt{n + 3}}{\sqrt{n + 2}}

Was offensichtlich größer als 1 ist, und damit macht diese verhältnismäßig "kleine" Abschätzung
schon die abgezielte Aussage

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

\leq 1

putt.

Ne bessere Abschätzung/Umformung seh ich aber grad nicht.
Es heißt zwar immer "eng ist gut", aber für Folgenglieder ist das etwas lästig... :-P)

Hilarius

07:11 Uhr, 06.12.2017

Darf ich nochmals pushen (es ist zwar kein dringliches Problem, aber es lässt mir keine Ruhe :-) ) und die Runde um Rat bitten:

- Weiter als in meinem Post oberhalb komm ich nich;
die Welt wäre heile, wenn

\frac{\sqrt{n + 2}}{\sqrt{n + 3}}

dastehen würde (denn das würd sich off. von links der 1 annähern; mein Term tuts aber von rechts)
Verrechnet hab ich mich nicht?

Eine Möglichkeit, die mir eingefallen wäre:
Ich müsste wohl an der Stelle e.g. irgendwie zeigen, dass

P (n) := \frac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} \leq \frac{\sqrt{n + 2}}{\sqrt{n + 3}}

Dann könnt ich z.B. so abschätzen

\frac{\sqrt{n + 3} (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 2} (\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1})} \leq \frac{\sqrt{n + 3}}{\sqrt{n + 2}} \frac{\sqrt{n + 2}}{\sqrt{n + 3}} = 1

Und wäre endlich happy, allein mir fehlt die Einsicht für P(n)
- Gelten sollte die Aussage aber, auch wenn der Unterschied ab n=2 bereits im Hundertstel-Bereich liegt.

(Oder ich bin auch so komplett am Holzweg und das Beispiel wäre eigentlich trivial -
Anm.: Dass es konvergiert und wogegen es konvergiert und das zu berechnen ist schon gelöst; ebenso die Beschränktheit - es fehlt eine Erklärung des Monotonieverhaltens der Folge)

michaL aktiv_icon

08:12 Uhr, 06.12.2017

Hallo,

ich gehe jetzt mal von

a_{n} = \sqrt{n^{2} + 3 n + 2} - \sqrt{n^{2} + 2 n} = \frac{\sqrt{n + 2}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

aus.

Doch vorab sollte klar sein, dass

(n + 3) (n + 1) = n^{2} + 3 n + 2 < n^{2} + 4 n + 4 = (n + 2)^{2}

(1)

und

n (n + 3) = n^{2} + 3 n < n^{2} + 3 n + 2 = (n + 1) (n + 2)

(2),

was aber auch so klar sein sollte, da man sich das ganze als Rechtecke mit konstantem Umfang (im erste Fall

4 n + 8

, im zweiten

4 n + 6

) vorstellen kann, deren Flächeninhalte umso größer ist, je "dichter" mn am Quadrat dran ist, d.h. je kleiner die Differenz der Seitenlängen ist. Im ersten Fall ist sie eben beim größeren Term Null (Quadrat), beim anderen 2. Im zweiten Fall ist sie beim größeren Term 1, beim kleineren 3.

Ok, desweiteren sollte man sich klar gemacht haben, dass aus

1 \leq a < b

und

1 \leq c < d

zudem

a + c < b + d

und damit

\sqrt{a} + \sqrt{c} < \sqrt{b} + \sqrt{d}

(3)

folgt (über Quadrieren und Ausmultiplizieren). Soll heißen: Wenn die Summe zweier (natürlicher) Zahlen größer als die Summe zweier anderer natürlicher Zahlen, so überträgt sich die Relation ach auf die jeweiligen Summen der Wurzeln der Zahlen.

Damit zeigt man ziemlich direkt:

a_{n + 1} \leq a_{n}

\overset{}{\Leftrightarrow} \frac{\sqrt{n + 3}}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} \leq \frac{\sqrt{n + 2}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

\overset{}{\Leftrightarrow} \sqrt{n + 3} (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}) \leq \sqrt{n + 2} (\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1})

\overset{}{\Leftrightarrow} \sqrt{(n + 3) (n + 1))} + \sqrt{n (n + 3)} \leq \sqrt{(n + 2)^{2}} + \sqrt{(n + 2) (n + 1)}

,

was aus der Kombination aus (1), (2) und (3) folgt.
Denn:
Aus (1) folgt

(n + 3) (n + 1) < (n + 2)^{2}

(das ist

a <

).
Aus (2) folgt

n (n + 3) < (n + 2) (n + 1)

(das ist

c < d

).

Damit folgt aus (3):

\sqrt{a} + \sqrt{c} < \sqrt{b} + \sqrt{d}

, was gerade die letzte Ungleichung ist.

Übrigens: Du musst bei einer monoton fallenden Folge zeigen, dass sie nach UNTEN beschränkt ist. (Wollte dir schon ein Vorposter mitteilen.)

Alles kar?

Mf Michael

Hilarius

10:00 Uhr, 06.12.2017

Ahoi und Danke! Genau die Übersicht hat mir gefehlt - das macht die Sache wesentlich "verdaulicher" :-)

Und ja, "nach unten beschränkt" hab ich natürlich auch schon vorher gezeigt (aber hier nicht reingeschrieben) [durch

a_{n} > 0, \forall n

], und mit

a_{n} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}

ist sie dann insgesamt Beschränkt....
Ich mach meistens Beschränktheit zuerst, dann mach ich mir Gedanken zur Monotonie.

Gruß und Danke nochmals an Alle!

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