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Monotonieintervalle einer Funktionenschar
Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe
Tags: Monotonie
 
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Hallo, gegeben ist die Funktionenschar: 1/3*x³-2*ax²+3a²x+1 Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle in Abhängigkeit von Parameter a Wie geht das jetzt? Ich habe zuerst die Ableitung nach gebildet, also f´(x) = x²-4ax+3a² und nun? Also um Monotonie rauszubekommen such ich ja Extremstellen... müsste ich diese Ableitung jetzt gleich 0 setzen? Wie geht es dann weiter? Danke schon mal ;-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff) Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff) |
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Wenn Du die Extremstellen hast kannst Du einfach sagen, dass die Funktion zwischen einem Hoch- und einem Tiefpunkt monoton fallen muss und umgekehrt. Außerdem, wenn der äußere linke Extrempunkt ein Tiefpunkt ist, kannst Du sagen, dass die Funktion auf monoton fallen muss - analog für einen Hochpunkt und den rechten äußeren Extrempunkt. Außerdem ist ein Sonderfall. Ich glaube an der Zeichnung sieht man das alles besser als durch diesen Text ;-) Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt: |
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Ja, genau, das weiß ich ;-) Ich habe jetzt die quadr. Gleichung mal nach aufgelöst und man kriegt als Lösungen oder also oder Und dann hab ich in meiner Ableitung einfach a durch den neuen Term mit ersetzt. Geht das? Und dann bleibt immer Quadratisches über, also Extremstelle wäre dann 0. Aber es wär ja keine Änderung von fallend zu steigend oder umgekehrt weil in der ableitung ja noch x² dann steht. Ich glaub ich hab da was falsch gerechnet |
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Bin bisher leider zu keinem weiteren Schluss gelangt, weiß leider auch garnicht, ob das, was ich gerechnet hab überhaupt stimmt. |
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Die Nullstellen sind richtig berechnet, . bei a und können Extrema liegen. Anhand der zweiten Ableitung kannst du ja bestimmen, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt (indem du die Nullstellen der ersten Ableitung einsetzt). Dann solltest du sehen, dass und das heißt für liegt bei a ein Hoch- und bei ein Tiefpunkt, für umgekehrt. Bei liegt an der Stelle 0 ein Sattelpunkt. Entsprechend kannst du jetzt das Monotonieverhalten für und bestimmen. |
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das war quatsch grade, ich editier mal : für und monoton steigend von - unendlich bis a monton fallend von a bis unendlich richtig? |
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Du hast doch zwei Extrema, an denen sich das Monotonieverhalten jeweils ändert. Falls streng monoton steigend auf und streng monoton fallend auf Falls streng monoton steigend auf und streng monoton fallend auf Falls monoton steigend auf streng monoton steigend auf und Für fällt der Graph also immer zwischen dem Hoch- und Tiefpunkt (der Hochpunkt ist immer links vom Tiefpunkt), sonst steigt er, für steigt er überall (weil er keine Extrempunkte hat), mit einem Sattelpunkt bei 0. An der Zeichnung (siehe oberer Beitrag) kann man das sehr deutlich nachvollziehen. |
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Vielen dank, habs verstanden |
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