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anonymous

11:19 Uhr, 23.06.2019

Hallo,
Zwei Spieler werfen eine Münze und es gewinnt ein Spieler sobald er das erste mal Kopf geworfen hat. Werfen beide Spieler Zahl im gleichen Wurf, so wird noch einmal geworfen und werfen beide Spieler Kopf im gleichen Wurf so geht das Spiel unentschieden aus.

Aufgabe: Bestimmte die WSK, dass das Spiel unentschieden ausgeht.

Im Anhang sei die Musterlösung angegeben.
Verstehe ich es richtig, dass man das Ereignis: P[Beide Spieler werfen ein Kopf in Runde k] aufsplittet in P[Spieler 1 werfe Kopf in Runde 1] U ...U P[Spieler 2 werfe Kopf in Runde unendlich].
Da die Teilereignisse disjunkt sind, kann addiert werden und mit der Geometrischen Verteilung bekommt man die Summe von (1/2)^k raus.

Analog gilt das für Spieler 2. Nun möchte ich jedoch beide Spieler zum Zeitpunkt k betrachten.
Also hätte ich gedacht, dass man folgendes rechnet:
P[Spieler 1 wirft in Runde k Kopf geschnitten Spieler 2 wirft in Runde k Kopf]

Ist dieser GEdankengang richtig ? Laut Musterlösung wird dann einfach multipliziert, was ja hieße das die beiden Ereignisse unabhängig sind, aber wie zeige ich das dann wieder ??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

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12:38 Uhr, 23.06.2019

Hallo,

{(\frac{1}{2})}^{k}

bedeutet hier, dass Spieler i (k-1)-mal Zahl wirft und dann einmal Kopf wirft. Rechnerisch ist das

{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot \frac{1}{2}

Jetzt wird das Ereignis betrachtet, dass beide Spieler parallel jeweils (k-1)-mal Zahl werfen und dann gemeinsam einmal Kopf wirfen. Also die W´keit einer Schnittmenge von zwei Ereignissen. Da die Ereignisse unabhängig sind gilt

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B) = {(\frac{1}{2})}^{k} \cdot {(\frac{1}{2})}^{k}

.

Die Unabhängigkeit ergibt sich aus der Tatsache, dass die W´keit dass Spieler 1 Kopf wirft unabhängig davon ist ob Spieler 2 Kopf oder Zahl wirft.

Die W´keiten, dass das Spiel in Runde

k

unentschieden ausgeht wird dann für alle Werte von k=1 bis in die Unendlichkeit aufsummiert. Das ist die Vereinigung der disjunkten Ereignisse.

Ich hätte erst berechnet, dass beide Spieler in der Runde k zum ersten mal Kopf werfen. Die W´keit ist

{(\frac{1}{4})}^{k}

und dann die einzelnen Ereignisse durch addieren vereinigt.

>>Verstehe ich es richtig, dass man das Ereignis: P[Beide Spieler werfen ein Kopf in Runde k] aufsplittet in P[Spieler 1 werfe Kopf in Runde 1] U ...U P[Spieler 2 werfe Kopf in Runde unendlich]<<

Man kann es so interpretieren. Es ist aber falsch. Es wird erst die Vereinigung vollzogen von "Spieler 1 trifft zum ersten mal Kopf" und "Spieler 2 trifft zum ersten mal Kopf" und das ist

{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot {(\frac{1}{2})}^{k} = {(\frac{1}{4})}^{k}

Gruß

pivot

anonymous

12:50 Uhr, 23.06.2019

Die Unabhängigkeit hast du aber nun argumentativ begründet, kann man das das auch mathematisch machen ? Formel wäre ja P[A1 Schnitt A2]=P[A1] * P[A2] , aber ich kann das leider nicht ausrechnen. Hatte für den Schnitt versucht mit der bedingten Wahrscheinlichkeit zu rechnen....aber es klappt nicht

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13:55 Uhr, 23.06.2019

Ganz ohne Argumentation geht das auch nicht. Allgemein gilt, das

P (A_{1} \cap A_{2}) = P (A_{2}) \cdot P (A_{1} ∣ A_{2})

. Und bei stochastischer Unabhängigkeit, wie du schon erwähnt hast,

P (A_{1} \cap A_{2}) = P (A_{1}) \cdot P (A_{2})

Also muss bei´stochastischer Unabhängigkeit

P (A_{1} ∣ A_{2}) = P (A_{1})

gelten.

Die W´keit, dass Spieler 1 nach k Würfen zum ersten Kopf wirft, gegeben Spieler 2 wirft nach k Würfen ebenfalls zum ersten Kopf ist

{(\frac{1}{2})}^{k}

.

Die W´keit, dass Spieler 1 nach k Würfen zum ersten Kopf wirft, ist

{(\frac{1}{2})}^{k}

. Somit ist die Gleichung für stochastische Unabhängigkeit erfüllt.

anonymous

14:03 Uhr, 23.06.2019

Okay also für mich ist das immer noch mehr Argumentation als irgendetwas konkret nachzurechnen. Mir fehlt da die Rechnung, denn du sagst das aus P[A1/A2]=P[A1] die Unabhängigkeit folgt..

anonymous

14:07 Uhr, 23.06.2019

Also argumentativ ist das klar und ich habe es verstanden, aber ich dachte das ist vielleicht auch möglich ist das mathematischer zu zeigen.. über den Schnitt usw

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14:37 Uhr, 23.06.2019

Du kommst nur über die Argumentation auf die bedingten W´keiten. Eine andere Möglichkeit sehe ich da nicht. Und dann wird jede Variante an Gleichungen die stochastische Unabhängigkeit zeigt auch erfüllt.

anonymous

19:48 Uhr, 23.06.2019

Ein bisschen konkretere Übersicht gewinnst du auch, wenn du dir erst mal ein Baumdiagramm vor Augen führst.

anonymous

23:19 Uhr, 23.06.2019

Danke

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