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Nachweis abelscher Gruppe mit symmetrischer Diff
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen
 
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Tut mir leid aber mit dem aktuellen Thema komme ich nicht klar. Gruppen habe ich in Ansätzen drin, verknüpft mit weiteren Aspekten hängt es aber. Z. B. diese Aufgabe: Wir betrachten eine festgewählte Menge und alle Teilmengen dieser Menge zusammen mit der symmetrischen Differenz also: zu zeigen ist, dass das eine abelsche Gruppe ist. Was ist also konkret zu zeigen? - Assoziativität - es gibt ein neutrales Element - zu jedem Element gibt es ein inverses Element - Kommutativität schonmal richtig? Es gilt ja auch: kann man damit etwas anfangen? Angefangen habe ich wie folgt: Seien beliebige Teilmengen von dann da (also die Vereinigung) nicht von der Reihenfolge abhängt. Ist das ok? Ist damit die Kommutativität gezeigt? (Sieht ein bisschen einfach aus) Für die Assoziativitäz habe ich gesagt seien beligibe Teilmengen von und dann entsprechend folgendes aufgeschrieben: . und . wenn ich hier raus die Gleichheit zeige ist die Assoziativität gezeigt? Wie ich das umforme weiß ich allerdings noch nicht... Zu den Aspekten "neutrales Element" und "inverses Element" habe ich ncoh keine Idee, ich hatte da an die leere Menge gedacht aber das passt wohl eher nicht?! Wie so oft wäre ich wirklich dankbar falls sich jemand auskennt und mir beim Lösen helfen kann. ps: Es könnte durchaus an grundlegenden Regeln, etc. mangeln, da mir wie so oft das Script (noch) nicht zur Verfügung steht, weil nicht online |
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Noch ein Nachtrag, offensichtlich war ich noch nicht ganz wach... :-D) Das neutrale Element muss die leere Menge sein, warum? Jede Teilmenge ist zu sich selbst invers, analog zu zeigen (wir wissen ja jetzt ist das neutrale Element), da: Ist das ausreichend? Ich bin mir nicht sicher ob das genügt, zumal ich nciht weiß ob ich annehmen darf, dass es genau ein neutrales Element gibt (dass ich ja dann gefunden habe) und, dass es genau ein inverses Element zu jedem Element gibt. Ich zwar, dass es so ist aber trotzdem... bei unserem Dozenten ist das immer fraglich Wenn das richtig sein sollte fehlt mir leider immernoch die Assoziativität. Noch etwas... ohje.. wir können annehmen das assoziativ ist, ist dann damit nicht schon klar, dass ich keine Klammern brauche? Bin ich dann damit fertig? :-D) Das wäre jetzt schon ziemlich lustig. :-D) |
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Hallo, was genau zu zeigen ist, hängt sehr von eurer Definition für eine (abelsche) Gruppe sowie den bewiesenen Sätzen ab. Beispielsweise braucht man bei der Definition einer abelschen Gruppe nicht zu fordern, dass das neutrale Element eindeutig ist, das steckt schon schon in der Kommutativität mit drin. Bei den Inversen musst du meiner Meinung nach schon beweisen, dass es genau eines gibt. Du schriebst: > ps: Es könnte durchaus an grundlegenden Regeln, etc. mangeln, da mir wie so oft das Script > (noch) nicht zur Verfügung steht, weil nicht online Das ist doch wohl ein Scherz, oder? Besuchst du denn die Vorlesung nicht? Es hat Vorteile, dies zu tun. Fragen wird man wohl am einfachsten dort klären können... Zur Assoziativität: Das ist eine Menge Arbeit, wir hatten diese Aufgabe auch mal (ahc, ja, damals). Wenn du dir das schenken könntest, wäre die Sache erheblich einfacher. Wenn nicht: Relativ einfach ist zu zeigen, dass gilt. Dazu braucht man allerdings schon die wesentlichen Dinge zur Mengenlehre, sind etwa 8 Schritte. Wenn du das hast, dann bist du mit der Assoziativität auch schon so gut wie fertig, wenn du verwendest, dass "" kommutativ ist UND der Ausdruck symmetrisch in , und ist. Alles in allem also doch durchaus machbar. Mfg Michael |
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Unsere Definition ist die gänge Definition die ich auch schon oben hingeschrieben habe. - kommutativ - assoziativ - neztrales Element - zu jedem Element gibt es ein Inverses oder meinst du etwas anderes? Ja das schrieb ich, denn es ist in der Tat so, dass wir damit beschäftigt sind Minuten lang Beweise abzuschreiben, etwas anderes ist in der Vorlesung nicht möglich, sowohl das Verständnis als auch der Blick auf das Script (während der Vorlesung) bleibt da auf der Strecke, lässt sich nicht ändern oder man schreibt nicht ab, dann fehlen einem entsprechend die Aufzeichnungen. Das soll einfach heißen, falls es eine bestimmte Umformung gibt die ich verwenden könnte, die womöglich im Script steht kann ich die einfach nciht nachsehen, mehr nicht. (Eine Vorlesung habe ich noch nie verpasst, deswegen auch die traurige Gewissheit über den Zustand) Zurück zum Thema: Ich habe mittlerweile gesehen, dass hinter der Assoziativität einiges steckt, je nachdem wie man das Ganze angeht aber wenn ich annehmen kann (laut Aufgabe), dass assoziativ ist, ist das dann nicht schon soweit gegeben? ps: vielleicht kommt dir das ja bekannt vor: images.onlinemathe.de/images/fragenbilder/images/e6fc50ff46d75b33f304c67adbac3732.png Ich habe gerade nachgesehen, im letzten Jahr hatten wir den Satz, dass es in jeder Gruppe GENAU ein inverses Element zu jedem Element gibt, somit wären neutrales und inverses Element abgehakt. Wie sieht es mit der Kommutativität aus? Im Prinzip habe ich da ja nichts gemacht, wobei bekannt ist, dass ist, was man sich ja auch sofort denken kann. |
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Habe heute unseren Tutor gefragt, der bestätigte mir, dass die Assoziativität wohl geschenkt ist in der Aufgabe, entsprechend, blieben nur noch die anderen drei Punkte übrig, die ich aber eigentlich shcon gezeigt habe weswegen ich davon ausgehe, dass die Aufgabe erledigt ist. Ich bedanke mich :-) |
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