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Nachweis sigma-Algebra
Universität / Fachhochschule
Tags: Sigma-Algebra, Stochastik, Wahrscheinlichkeit
 
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Hallo zusammen, wir sind gerade in meiner Mathe-Vorlesung in das Thema Stochastik eingestiegen und haben dabei angefangen über sigma-Algebren zu reden. Nun habe ich folgende Übungsaufgabe dazu bekommen und bin mir leider nicht ganz sicher, wie ich das machen soll. Ich habe tatsächlich auch noch nie vorher mit sigma-Algebren gearbeitet und auch nur sehr wenig Ahnung von Stochastik. Kann mir jemand vielleicht einen Einstieg in eine der Teilaufgaben geben, also nur zeigen, was ich eigentlich zu überprüfen habe? Vielleicht kann ich ja die Anderen dann ganz alleine lösen. :-) Hier die Aufgabe: Zeigen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Mengensystem sigma-Algebren über sind: (a) A offen (b) A offen oder abgeschlossen (c) A endlich oder abzählbar Danke für eure Hilfe und LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Sigma-Algebren müssen mit jeder Menge auch deren Komplement enthalten. Allein damit kannst du (a) und (c) sofort widerlegen, durch Angabe jeweils eines , welches den Bedingungen genügt - das Komplement jedoch nicht. P.S.: Nur weil ich (b) bisher ausgelassen habe, bedeutet das noch lange nicht, dass das eine Sigma-Algebra ist. Die obige Komplementregel spricht nicht dagegen, aber womöglich eine der anderen Eigenschaften? ;-) |
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Hallo und Danke für deine Antwort. Ich habe es leider immer noch nicht ganz verstanden... Erstmal ist mir nicht wirklich klar, wie ich das komplement einer unendlichen Menge bilden soll. Bei endlichem ist das ja ganz einfach, aber wie soll das für sinnvoll tun? Einfach als ohne die Menge? Oder anders? Ich habe mir noch Folgendes überlegt. Wenn ich z.B. die Menge (mit (a,b) als offenem Interval), dann habe ich doch ein System offener Mengen über , oder? Dann könnte ich doch z.B. sagen, dass (1,2) und (3,4) in der sigma-Algebra enthalten wären, aber z.B. deren Vereinigung, also nicht, oder? Und das würde bedeuten, dass keine sigma-Algebra vorliegen kann, oder? Ich habe aber das Gefühl, dass ich da was falsch gemacht habe. Da könnte ich ja statt dem offenen Interval ein geschlossenes schreiben und hätte dann schon wieder was gezeigt. Mir scheint also so, als wäre mein Beispiel nicht richtig. Kannst du mir da weiterhelfen? Danke und LG |
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> Erstmal ist mir nicht wirklich klar, wie ich das komplement einer unendlichen Menge bilden soll. Du sollst dir das ja auch nicht universell für alle unendlichen Mengen überlegen, sondern für konkret fassbare wie etwa Intervalle - Beispiel: Für ist . Ist das jetzt wirklich so schwer? > Dann könnte ich doch z.B. sagen, dass (1,2) und (3,4) in der sigma-Algebra enthalten wären, aber z.B. deren Vereinigung, also nicht, oder? Von welchen Mengensystem redest du jetzt in Hinblick auf die Aufgabe hier? Menge ist jedenfalls auch offen, für (a) oder (b) passt das somit nicht als Gegenbeispiel (für (c) gleich gar nicht). Übrigens (war mir oben gar nicht aufgefallen): Mengensystem (c) verletzt ja gleich schon mal die allereinfachste Bedingung an eine Sigma-Algebra, dass nämlich die Grundmenge drin sein muss: Grundmenge ist hier nämlich überabzählbar! |
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Okay, vielen Dank. Jetzt habe ich das verstanden. Wenn A offen ist, wie z.B. im Fall von , dann liegt das Komplement: nicht in der angeblichen sigma-Algebra, da es sich um ein halb-offenes Intervall handelt. Da das Komplement von A nicht in der "sigma-Algebra" liegt, kann es sich um keine sigma-Algebra handeln. Daher ist die Menge der offenen Mengen also keine sigma-Algebra in Wenn A endlich oder abzählbar ist, kann es keine Menge von As geben, die eine sigma-Algebra in bildet. Da eine sigma-Algebra immer die Grundmenge enthalten muss, müsste diese also enthalten. Da aber weder endlich noch abzählbar unendlich ist (sondern überabzählbar), kann nicht in der "sigma-Algebra" liegen. Somit handelt es sich um keine sigma-Algebra. Dann versuche ich mich jetzt nochmal an Aufgabe b. Danke schonmal für deine Hilfe. |
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Wenn ich mir das Beispiel aus Aufgabe a angucke, dann scheint es auch für Aufgabe b zu funktionieren, oder irre ich mich da? Das Komplement von ist . Es handelt sich hierbei um ein halboffenes Intervall. Es ist also weder offen noch abgeschlossen. Somit gilt: . Somit kann keine sigma-Algebra vorliegen. Ist das richtig oder habe ich mich vertan? Du hast ja gesagt, dass die Komplementregel nicht gegen b spricht. Danke und LG |
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Du irrst dich: ist eine abgeschlossene Menge. |
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Okay, ich glaube ich hab es. Man betrachte die Intervalle: (0,1) und [1,2]. Diese sind offensichtlich Teilmenge der womöglichen sigma-Algebra, da (0,1) offen ist und [1,2] abgeschlossen. Teste nun, ob deren Vereinigung auch Teil der sigma-Algebra ist: Bei (0,2] handelt es sich nicht um ein offenes Intervall (rechte Intervallgrenze) und nicht um ein abgeschlossenes Intervall (linke Intervallgrenze). Es handelt sich vielmehr um ein halboffenes Intervall. Dieses ist weder eine offene noch eine geschlossene Menge. Die Vereinigung zweier Teilmengen der sigma-Algebra liegt also nicht in eben jener. Deshalb kann es sich um keine sigma-Algebra handeln. Ist das so richtig? Oder ist doch ein Fehler drin? Danke und LG |
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Ja, das ist eins von sehr vielen passenden Beispielen. Übrigens: Das Vereinigungssymbol ist \cup, du hattest stattdessen \cap (Durchschnitt) verwendet. |
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Oh, danke. Da habe ich mich bloß in Latex vertippt. Vielen Dank für deine Hilfe :-) |
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