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Näherungswerte mit Taylor-Reihen berechnen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Folgen und Reihen

Funktionenreihen

Tags: Differentiation, Folgen, Funktionenreihen, Näherungswert, Reihen, Taylorreihe

shubidu aktiv_icon

11:58 Uhr, 14.03.2013

Hallo!

Ich habe Probleme mit der Berechnung von Näherungswerten mithilfe von Taylor-Reihen.

Vorhin hatte ich die Aufgabe, den Sinus an der Stelle

x 0 =

60° in eine Taylor-Reihe zu entwickeln und den sin(65,7°) aus den ersten 4 Gliedern zu berechnen. Damit hatte ich auch keinerlei Probleme. Scheinbar ist es so, wenn man die Taylor-Reihe (einer Trigonometrischen Funktion) an einer Stelle berechnet, die ungleich 0 ist, dass dann das Berechnen von Näherungswerten reibungsfrei klappt.

Nun habe ich aber mal aus Interesse den Sinus an der Stelle

x 0 = 0

in eine Taylor-Reihe entwickelt und dann versucht, diverse Sinus-Werte mithilfe dieser Reihe zu berechnen: Leider ohne Erfolg.

Ähnliches Problem habe ich

z . B

. bei der Funktion

x^{4} - 5 x^{2} + 4

.

Wenn ich da die Taylor-Reihe entwickle, lassen sich mit dieser keine Näherungswerte berechnen oder mache ich etwas falsch?

Kann man die Taylor-Reihen von nicht-trigonometrischen Funtkion überhaupt dazu nutzen, Näherungswerte zu berechnen? Wenn ja, wie?

Dankö

funke_61 aktiv_icon

12:44 Uhr, 14.03.2013

Wenn Du den

sin (x)

in eine Taylorreihe entwickelst und Du beim vierten Glied abbrichst, so machst Du folgendes:
Die Taylorreihe entspricht in diesem Fall einer Polynomfunktion 4. Grades (ganzrationale Funktion 4. Grades), welche im Entwicklungspunkt

x_{0}

die Sinusfunktion "sehr genau" annähert.
Je weiter Du Dich vom Entwicklungspunkt

x_{0}

entfernst, um so grösser wird der Fehler, der zwischen

sin (x)

und dieser Polynomfunktion 4. Grades entsteht.

Wenn Du also um

x_{0} = 0

entwickelst, sollte das Ergebnis für

x = 5,7

° ebenso genau sein, wie bei Deinem ersten Versuch bei

x_{0} = 60

°
- sonst hast Du Dich einfach verrechnet ;-)

Nun betrachten wir mal Deine ganzrationale Funktion

f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4

f' (x) = 4 x^{3} - 10 x

f'' (x) = 12 x^{2} - 10

f''' (x) = 24 x

f'''' (x) = 24

f''''' (x) = 0

alle weiteren Ableitungen sind 0.

Sei nun der Entwicklungspunkt

x_{0} = 0 :

f (0) = 4

f' (0) = 0

f'' (0) = - 10

f''' (0) = 0

f'''' (0) = 24

f''''' (0) = 0

Nun die Taylorreihe:

T_{0} (x) = f (0) + \frac{f' (0)}{1!} (x - 0) + \frac{f'' (0)}{2!} {(x - 0)}^{2} + \frac{f''' (0)}{3!} {(x - 0)}^{3} + \frac{f'''' (0)}{4!} {(x - 0)}^{4}

Funktionswert und Ableitungswerte an der Stelle

x_{0} = 0

einsetzen:

T_{0} (x) = 4 + \frac{0}{1!} (x - 0) + \frac{- 10}{2!} {(x - 0)}^{2} + \frac{0}{3!} {(x - 0)}^{3} + \frac{24}{4!} {(x - 0)}^{4}

Ausrechnen:

T_{0} (x) = 4 + 0 x + - \frac{10}{2} x^{2} + 0 x^{3} + \frac{24}{24} x^{4}

T_{0} (x) = 4 - 5 x^{2} + x^{4}

was erkennst Du also ?

funke_61 aktiv_icon

13:03 Uhr, 14.03.2013

Zur Kontrolle:

f (x) = sin (x)

als Taylorreihe um

x_{0} = 0

entwickelt und nach dem vierten Glied abgebrochen ergibt:

T_{0} (x) = 0 + \frac{1}{1!} (x - 0) + \frac{0}{2!} {(x - 0)}^{2} + \frac{- 1}{3!} {(x - 0)}^{3} + \frac{0}{4!} {(x - 0)}^{4}

also:

T_{0} (x) = x + - \frac{1}{6} x^{3}

shubidu aktiv_icon

13:38 Uhr, 14.03.2013

Okay, erstmal zum Sinus:

Bedeutet das, je näher man den Entwicklungspunkt an den gesuchten Wert setzt, desto genauer ist das Ergebnis? Wenn ich jetzt also eine Taylor-Reihe an der Stelle 50° entwickle und daraus den Sinus von 170° berechnen möchte, erhalte ich ein sehr ungenaues Ergebnis? Zum Beispiel wäre es genauer, wenn ich die Taylor-Reihe an der Stelle 180° entwickelt hätte?

Danke auch für deine angehängte Grafik!! Dort erkennt man ja auch, je weiter man sich vom Entwicklungspunkt - also in diesem Fall 0 - entfernt, desto ungenauer wird die Näherung durch die Taylor-Reihe. Ich hoffe, ich habe das so richtig verstanden.

Zur ganzrationalen Funktion:

Also ich erkenne natürlich, dass die Taylor-Reihe gleich dieser Funktion ist :-D)

Dazu fällt mir gleich eine Frage ein: Das hieße ja, bei ganzrationalen Funktion entsteht immer die "genaueste" Taylor-Reihe, wenn man um 0 entwickelt? Macht ja irgendwie wenig Sinn, dann überhaupt um 0 zu entwickeln, wenn sowieso das Gleiche danach entsteht? :-D)

Ich hatte aber auch vergessen zu erwähnen, dass man bei dieser Aufgabe um die Stelle x0 = 1 entwickeln sollte (und dann das Restglied bestimmen sollte, was jetzt aber für meine Frage egal ist)

Bei mir kam dann raus:

T(x) = -6*(x-1) + (x-1)^2 + 4*(x-1)^3 + (x-1)^4

Wenn ich in diese Funktion nun x-Werte einsetze, kommen teilweise enorm andere y-Werte als in der ursprünglichen Funktion zustande. Darauf wollte ich eigentlich am Anfang hinaus.

Mein Formel-Editor geht leider nicht, weil bei mir aktuell irgendwas beim Java-Skript defekt ist...

funke_61 aktiv_icon

13:47 Uhr, 14.03.2013

"Bedeutet das, je näher man den Entwicklungspunkt an den gesuchten Wert setzt, desto genauer ist das Ergebnis? Wenn ich jetzt also eine Taylor-Reihe an der Stelle 50° entwickle und daraus den Sinus von 170° berechnen möchte, erhalte ich ein sehr ungenaues Ergebnis? Zum Beispiel wäre es genauer, wenn ich die Taylor-Reihe an der Stelle 180° entwickelt hätte?"

stimmt :-)

"Danke auch für deine angehängte Grafik!! Dort erkennt man ja auch, je weiter man sich vom Entwicklungspunkt - also in diesem Fall

0 -

entfernt, desto ungenauer wird die Näherung durch die Taylor-Reihe. Ich hoffe, ich habe das so richtig verstanden."

ja, richtig verstanden :-)

ich rechne Dein Polynom mit

x_{0} = 1

mal kurz durch:

f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4

f' (x) = 4 x^{3} - 10 x

f'' (x) = 12 x^{2} - 10

f''' (x) = 24 x

f'''' (x) = 24

f''''' (x) = 0

alle weiteren Ableitungen sind 0.

Sei nun der Entwicklungspunkt

x_{0} = 1 :

f (1) = 0

f' (1) = - 6

f'' (1) = 2

f''' (1) = 24

f'''' (1) = 24

f''''' (1) = 0

Nun die Taylorreihe:

T_{1} (x) = f (1) + \frac{f' (1)}{1!} (x - 1) + \frac{f'' (1)}{2!} {(x - 1)}^{2} + \frac{f''' (1)}{3!} {(x - 1)}^{3} + \frac{f'''' (1)}{4!} {(x - 1)}^{4}

Funktionswert und Ableitungswerte an der Stelle

x_{0} = 0

einsetzen:

T_{1} (x) = 0 + \frac{- 6}{1!} (x - 1) + \frac{2}{2!} {(x - 1)}^{2} + \frac{24}{3!} {(x - 1)}^{3} + \frac{24}{4!} {(x - 1)}^{4}

Ausrechnen:

T_{1} (x) = 0 - 6 (x - 1) + {(x - 1)}^{2} + 4 {(x - 1)}^{3} + {(x - 1)}^{4}

wenn ich mich nicht verrechnet habe, hast Du richtig gerechnet :-)

"Wenn ich in diese Funktion nun x-Werte einsetze, kommen teilweise enorm andere y-Werte als in der ursprünglichen Funktion zustande. Darauf wollte ich eigentlich am Anfang hinaus."

Du verrechnest Dich einfach beim Einsetzen von x-Werten. Probiers einfach nochmal.

Denn wenn Du jetzt alles mühsam ausmultiplizierst, kommt wieder die ursprüngliche Funktion

f (x)

heraus :-)
WolframAlpha "hilft gern" bei dieser Probe (siehe auch Bild unten)
Preisfrage: Welchen Wert hat in diesem Fall das Restglied?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=-6%28x-1%29%2B%28x-1%29^2%2B4%28x-1%29^3%2B%28x-1%29^4

funke_61 aktiv_icon

14:35 Uhr, 14.03.2013

Eine deiner Fragen habe ich bisher vergessen zu beantworten:
"Dazu fällt mir gleich eine Frage ein: Das hieße ja, bei ganzrationalen Funktion entsteht immer die "genaueste" Taylor-Reihe, wenn man um 0 entwickelt?"

Bei ganzrationalen Funktionen entsteht immer die "genaueste" Taylorreihe, wenn man alle Glieder bis zum Grad des Polynoms verwendet,
denn die "(n+1)ste" Ableitung (und alle weiteren Ableitungen) eines Polynoms n-ten Grades werden IMMER Null sein.
- Dies ist unabhängig vom Entwicklunkgspunkt! -
Damit verschwinden bei ganzrationalen Funktionen alle "höheren" Taylorreihen-Glieder ab dem (n+1)sten Glied.
;-)

shubidu aktiv_icon

13:21 Uhr, 15.03.2013

Klasse, danke Dir, hast mir sehr weiter geholfen!

Zu deiner Preisfrage: Das Restglied muss dann den Wert 0 haben!?

Und ich habe mich tatsächlich bei den x-Werten verrechnet... Jetzt haut alles hin.

Dann ist es bei ganzrationalen Funktionen im Grunde auch egal, um welchen Entwicklungspunkt man entwickelt? Wenn sowieso immer die gleiche Funktion, nur in anderer Form, heraus kommt.

Deine letzte Anmerkung macht auch absolut Sinn. Danke nochmal.

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