 |
 |
 |
 |
 |
 |
Natürliche Zahlen mit der Ziffer 9
Sonstiges
Tags: Bestimmte Eigenschaften, Natürliche Zahlen
 
|
  |
|
|---|---|
|
Hallo, ich hab hier eine Aufgabe, die mir schon seit Tagen durch den Kopf geht: Wie hoch ist der prozentuale Anteil der natürlichen Zahlen, die mindestens einmal die Ziffer 9 enthalten? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
| |
 |
|
|
Ein Versuch:
Wie viele 5-stellige natürliche Zahlen gibt es, die keine Ziffer 9 enthalten?
An der ersten Stelle können 8 Ziffern stehen, nämlich 1, 2, ...8. Für die übrigen Stellen kommen 9 Ziffern in Frage, nämlich 0, 1, ... 8.
Das ergibt 8 * 9 * 9 * 9 * 9 = 52488 fünfstellige Zahlen ohne Ziffer 9.
Insgesamt gibt es 9 * 10 * 10 * 10 * 10 = 90000 fünfstellige Zahlen.
Der Anteil von Zahlen ohne Ziffer 9 beträgt also
52488/90000 = 0,5832
Nun dasselbe für n-stellige Zahlen:
Es gibt 8 * 9^(n-1) solche Zahlen ohne Ziffer 9.
Es gibt 9 * 10^(n-1) solche Zahlen insgesamt.
Der Anteil von Zahlen ohne Ziffer 9 ist hier
8/9 * (9/10)^(n-1)
Für n = 100 ergibt sich 2,6...*10^(-5)
Für n=1000 ergibt sich 1,7...*10^(-46)
Man sieht:
Zahlen ohne Ziffer 9 werden mit zunehmender Stellenzahl immer seltener.
GRUSS, DK2ZA
|
|
|
|
|
|
Hallo,
im Prinzip hatte ich die gleiche Idee. Ich hätte nur zuerst den Bereich von 0 bis 100000 betrachtet. Dann wäre die Berechnung leichter:
Zahlen ohne 9: 9*9*9*9*9=9^5 Zahlen Gesamt: 10*10*10*10*10=10^5
Zahlen mit 9: 10^5-9^5
Die Wahrscheinlichkeit ist dann: (10^5-9^5)/10^5= 0,409 => 41%
Logischerweise war bei einstelligen Zahlen die Wahrscheinlichkeit nur 10%, somit steigt die wahrscheinlichkeit.
Wenn man diese Formel nun allgemein schreibt und eine Grenzwertbetrachtung macht, wir die Wahrscheinlichkeit gegen 1 konvergieren. |
|
 |
|
|
Hallo, erst mal vielen Dank für eure Antworten und speziell die Berechnung von drgonzo, die (etwas umgeformt) zu dem Term führt. Wenn ich aber jetzt damit ausrechnen will, wie groß der Anteil aller natürlichen Zahlen ist, die mindestens eine 9 als Ziffer enthält, komme ich auf Denn angenommen, der Anteil wäre kleiner als also mit dann wird es doch immer ein entsprechend großes geben, sodass gilt. Ich weiss, dass es sich um eine Grenzwertbetrachtung handelt, aber gesucht ist ja auch der Anteil aller natürlichen Zahlen. Auf der anderen Seite würde das Ergebnis von bedeuten, dass alle natürlichen Zahlen mindestens einmal die Ziffer 9 enthalten. |
|
|
|
|
|
Ein kurioses Ergebnis! Aber ich denke, dass es tatsächlich stimmt: 100%
Es gibt also unendlich viele natürliche Zahlen ohne Ziffer 9, aber unendlich mal so viele mit Ziffer 9.
Das Unendliche hat so seine Tücken.
Das merkt man ja schon daran, dass 0,9999.... = 1 ist.
GRUSS, DK2ZA
|
|
|
|
|
|
Ich kann es eigentlich nicht glauben, dass das Ergebnis tatsächlich sein soll; weil das ja dann bedeuten würde, dass alle natürlichen Zahlen die Ziffer 9 besitzen.
Vielleicht ist ja die Berechnung: Prozentualer Anteil doch falsch??? |
|
anonymous 15:41 Uhr, 31.07.2008 |
|
|
Hallo, ich möchte hier nur eine kleine Anmerkung geben, da mir die Lösung dieses interessanten Problems auch nicht klar ist: es wird hier im Prinzip mit Methoden gerechnet, welche auf die Wahrscheinlichkeit zielen, mit der eine natürliche Zahl in Dezimalschreibweise die Ziffer 9 (mindestens einmal) enthält. Das Problem an der Sache besteht nun meines Erachtens darin, dass die hier festgesetzten Wahrscheinlichkeiten die Axiome von Kolmogoroff (wenigsten teilweise) verletzen und daher kein Wahrscheinlichkeitsraum vorliegt. Vielleicht finde ich in den nächsten Tagen noch Zeit, das näher auszuführen. Ich werde auf jeden Fall die Diskussion des Problems weiterverfolgen. Gruß, Diophant |
|
|
|
|
|
Hallo, ich verstehe nicht, was ihr habt? Insbesondere verstehe ich Diophants Zweifel mit den Axiomen nicht. Sogar in wikipedia, nicht gerade bekannt für den wissenschaftlichsten Anspruch, weiß man, daß eine Wahrscheinlichkeit von Null nicht gleichbedeutend ist mit "unmögliches Ereignis": de.wikipedia.org/wiki/Stochastik#Unm.C3.B6gliche_Ereignisse Man muß einfach akzeptieren, daß hier die Maßtheorie mit hineinspielt und da gibt es eben auch unendlich große Mengen, deren Maß Null ist! Wenn man also alle natürlichen Zahlen (abzählbar viele) von einem Zufallsgenerator mit der selben Wahrscheinlichkeit erhält, dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß diese Zahl die Ziffer 9 nicht enthält eben Null. Das gilt nicht nur für die Ziffer 9 sondern für alle Ziffern. Somit gilt mit 100%-iger Wahrscheinlichkeit, daß die "gezogene" Zahl alle Ziffern enthält. Und das scheint mir nicht unlogisch! |
|
|
|
|
|
man sollte sich klar machen, was das ergebnis bedeutet. für jedes gibt es eine natuerliche (endliche!) Zahl so dass für alle natürlichen Zahlen ) der relative Anteil von natürlichen Zahlen, die eine 9 enthalten, bzgl der Zahlmenge größer als ist. Das ist die Aussage, die hinter dieser Konvergenz steht, nicht mehr und nicht weniger. Dass Konfusionen auftreten, wenn man nun versucht, dass Ergebnis für den Grenzwert zu interpretieren, ist klar, denn man fragt nach dem Anteil einer unendlichen Menge an einer unendlichen Menge und zumindest ich kann mir darunter nichts mehr vorstellen. Grüße, Reilly |
|
|
|
|
|
Hallo, so langsam versteh ich überhaupt nichts mehr. Erst habe ich vielleicht die Kolmogoroffschen Axiome verletzt, dann heisst es: "Man muß einfach akzeptieren, daß hier die Maßtheorie mit hineinspielt und da gibt es eben auch unendlich große Mengen, deren Maß Null ist!" ...was bedeutet das?? Dann: "man sollte sich klar machen, was das ergebnis bedeutet. für jedes gibt es eine natuerliche (endliche!) Zahl so dass für alle natürlichen Zahlen m≥n(p) der relative Anteil von natürlichen Zahlen, die eine 9 enthalten, bzgl der Zahlmenge größer als ist." Irgendwo habt ihr mich als normalen Mathematikinteressierten, der aber kein Profi ist, vollkommen verloren. Ich möcht doch nur wissen, ist das Ergebnis gleich oder ist es kleiner ? |
|
|
|
|
|
naja, du hast schon recht, hier geht's drunter und drüber, aber es ist wahr, dass der grenzwert ist. das bedeutet aber nicht, dass jede zahl eine 9 enthält. es bedeutet "nur", dass der anteil von zahlen, die keine 9 enthalten verschwindend gering ist. vielleicht hilft ein klassisches beispiel. eine urne mit kugeln. sind schwarz, eine ist rot. die wahrscheinlichkeit eine schwarze zu ziehen (bzw. der relative anteil von schwarzen kugeln), ist bzw. . wenn du nun immer mehr schwarze hinzufügst, wird es auch immer wahrscheinlicher, eine schwarze zu ziehen. du kannst sogar so viele schwarze hinzufügen, dass es beliebig wahrscheinlich wird (du also beliebig nah an die 1 kommst), dass du eine schwarze ziehst. nichtsdestotrotz ist immer noch eine rote kugel in der urne drin. wenn du aber nun versuchst, den grenzwert zu interpretieren (der in diesem fall ja auch ist), dann schaust du dir eine urne mit unendlich vielen kugeln an, von denen eine rot ist. das macht nicht wirklich viel sinn. eine interessante diskussion. grüße, reilly |
|
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
