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Negation von Aussagen

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Tags: Analysis, Aussagenlogik, Negation, quantor, Sonstiges

 
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nicnac

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12:42 Uhr, 11.04.2013

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Hey
Also, ich habe da einige Fragen und hoffe ihr könnt mir helfen:

Die Aufgabe lautet: Formulieren Sie das logische Gegenteil der folgenden Aussagen, d.h. geben Sie jeweils eine Aussage an, die genau für die Funktionen f:R→R wahr ist, für die die angegebene Aussage falsch ist.

Die erste Aussage ist: a) Es gibt ein M ∈ N mit f(x)≤ M für alle x ∈ R

anders formuliert würde diese Aussage meiner Meinung nach so aussehen:
∀x ∈ R: ∃M ∈ N: f(x)≤ M

die Negation dieser Aussage würde dann bedeuten, dass ich die Quantoren erstmal einfach vertauschen müsste, oder?
∃x ∈ R: ∀M ∈ N: f(x)≤ M

und geschrieben würde es dann lauten: "Es gibt ein x ∈ R für alle M ∈ N mit f(x)≤ M ?

b) Für jedes ε >0 gibt es ein δ >0 so dass |f(x)-f(0)|< ε gilt für alle x ∈ R mit |x|< δ

formale Schreibweise: ∀ε >0: ∃δ >0:|f(x)-f(0)|< ε : ∀x ∈ R:|x|< δ

und dann? Quantoren wieder vertauschen?
Bitte um Hilfe :-) ich hoffe ich denk schonmal in die richtige Richtung

Danke schonmal :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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anonymous

anonymous

19:32 Uhr, 11.04.2013

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a) ist falsch
⋁M∈N⋀x∈Rf(x)≤M
in Worten: es existiert eine natürliche Zahl M, so dass für alle reellen Zahlen x gilt:
f(x) ≤M
das soll nun negiert werden: Quantoren "rumdrehen", Aussage(form) negieren (!). Also:
⋀M∈N⋁x∈Rf(x)>M
in Worten: zu jeder natürlichen Zahl M gibt es eine reelle Zahl x, so dass gilt: f(x) > M

analog musst du b) überarbeiten
nicnac

nicnac aktiv_icon

16:08 Uhr, 12.04.2013

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achsoo, dann habe ich die Aussage einfach etwas falsch verstanden.

Ist M denn jetzt eine Menge oder eine natürliche Zahl?

und zu b) ∀ε ≤ 0: ∃δ ≤ 0 :|f(x)−f(0)| ≥ε : ∀x ∈ R:|x| ≥δ
also in Worten:
Es existiert ein ε (kleiner oder gleich 0) für alle δ (kleiner oder gleich 0),
so dass für eine reelle Zahl x, die größer oder gleich δ ist, gilt: |f(x)-f(0)|≥ε .

Tut mir leid, dass ich so dumm frage, ich hab echt Angst was falsch zu verstehen
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anonymous

anonymous

18:48 Uhr, 12.04.2013

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das geht doch aus der Notation hervor: M ist eine natürliche Zahl!
zu b)
⋀ε∈R+⋁δ∈R+⋀x∈R∣x-0∣<δ⇒∣f(x)-f(0)∣<ε
in Worten:
zu jeder pos. reellen Zahl epsilon gibt es eine pos. reelle Zahl delta, so dass für alle reellen Zahlen x gilt: liegt x in der delta-Umgebung von 0, dann liegt f(x) in der epsilon-Umgebung von f(0)

Das soll jetzt negiert werden. Beachte, dass A⇒Baussagenlogisch äquivalent ist zu (¬A)∨B
Die Negation ist dann ¬[(¬A)∨B]=(¬(¬A))∧(¬B)=A∧(¬B)
Also:
⋁ε∈R+⋀δ∈R+⋁x∈R∣x-0∣<δ∧∣f(x)-f(0)∣≥ε
in Worten:
Es gibt eine pos. reelle Zahl epsilon, so dass zu jeder pos. reellen Zahl delta es eine reelle Zahl x gibt, die in der delta-Umgebung von 0 liegt, deren Funktionswert aber ausserhalb der epsilon-Umgebung von f(0) liegt.
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