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Newton-Interpolation für dividierte Differenzen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: interpolation

Lexiii92 aktiv_icon

11:13 Uhr, 10.08.2017

Guten Morgen,

ich habe gerade Probleme beim Bewältigen einer Aufgabe.

Es geht um:

a)

Bestimmen Sie für die Wertetabelle innerhalb des Zeitintervalls

0 \leq t \leq 3

das Lagrange-Interpolationspolynom 3. Ordung

P_{3}

für die Geschwindigkeit

v (t)

. Nutzen Sie hierbei die Newtonsche Interpolationsformel!

b)

Berechnen Sie die Beschleunigung

a (t)

c)

Geben Sie die Beschleunigung zum Zeitpunkt

t = 1

an.

Wertetabelle:

t = 0; t = 1; t = 2; t = 3; t = 4

v = 1; v = 1.133; v = 1.284; v = 1.455; v = 1.648

Die Formel welche die Newtonsche Interpolationsformel beschreibt ist bei uns gemäß:

P_{n} (x) = f [x_{0}] + \sum_{k = 1}^{n} (f [x_{0}, x_{1}, ..., x_{k}] \prod_{i = 0}^{k - 1} (x - x_{i}))

definiert.
Für

n = 3

können wir also aufschreiben:

P_{3} (x) = f [x_{0}] + \sum_{k = 1}^{3} (f [x_{0}, x_{1}, ..., x_{k}] \prod_{i = 0}^{2} (x - x_{i}))

Edit:
Ich habe es jetzt gelöst und vielleicht kann mir jemand ein positives Feedback zurückgeben oder ggf. auf einen Fehler Hinweisen.

Bei

b)

muss ich ja gerade das Polynom einfach nur ableiten und bei

c)

ja nur den Zeitpunkt einsetzen?

Gruß

Lexi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

12:56 Uhr, 10.08.2017

Hallo
"was versteht man dann unter f

[

x]...?"
Es wurden nur unterschiedliche Bezeichner genutzt.
Deine unabhängige Variable lautet

>

"x" in deiner Interpolationsformel,

>

"t" wohl für die Zeit in der Tabelle.
Lass dich nicht verwirren, das ist nur ein anderer Bezeichner für ein und die selbe Größe.

Deine abhängige Variable lautet

> f (x)

in deiner Interpolationsformel,

> v (t)

wohl für die Geschwindigkeit in der Tabelle.
Lass dich nicht verwirren, das ist nur ein anderer Bezeichner für ein und die selbe Größe.

b)

"...muss ich ja gerade das Polynom einfach nur integrieren ..."
Wirklich? Denk nochmals nach. Wie war das nochmals in der Physik?
Weg

s,

Geschwindigkeit

v,

Beschleunigung a
Was ist die Ableitung von was?

Lexiii92 aktiv_icon

13:18 Uhr, 10.08.2017

Unsere Antworten haben wohl einander verpasst. Als du geschrieben hast, hatte ich meinen Startbeitrag editiert und habe meine Lösung beigefügt.

Gruß

Lexi

Roman-22

15:22 Uhr, 10.08.2017

Deine Ergebnisse sind bis auf Rundungsprobleme richtig.

Lexiii92 aktiv_icon

16:24 Uhr, 10.08.2017

Oh hallo. Danke für die Antwort das beruhigt mich. Es gibt noch die bekannte Methode (Nevillesche Methode) zur Berechnung eines Funktionswert an einer Unbekannten Stützstelle. Natürlich in diesem Intervall und zwischen zwei bekannten Stützstellen.

Ich habe es auch geschafft das zu berechnen, jedoch kann ich es mir nicht anhand der Formeln berechnen, sondern anhand allgemeiner Werte anhand eines Youtube-Beispiels, weil ich mit den Indizes nicht wirklich klarkomme.

Im Skript haben wir folgendes Schema, dass ich an sich ja auch für konkrete Werte berechne kann, aber nicht mittels der Formeln.

Die andere Frage die sich mir noch stellt ist wie man die Genauigkeit der Lagrange-Interpolation verbessern kann? Siehe Anhang (Genauigkeit)
Da muss ich einfach die Anzahl an Stützstellen erhöhen, also somit eine Lagrangeinterpolation höherer Ordnung anstreben, oder?

Grüße

Lexi

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