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Newton Verfahren (Finanzmathematik) + Determinante

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Determinanten

Matrizenrechnung

Tags: Determinant, Finanzmathematik, Matrizenrechnung, Sonstig

mathematikdummie aktiv_icon

10:40 Uhr, 07.03.2018

Liebe Leute,
ich bin leider ein völliges Ei in Mathematik und studiere auf der TU eine der Disziplinen mit vergleichsweise wenig mathematischem Inhalt. Die einzige dezidierte Matheprüfung hat es aber dafür in sich, es kommt praktisch der gesamte Stoff der Schuloberstufe wieder (warum ich da damals durchgekommen bin weiß ich heute nicht mehr). Erschwert wird das ganze dadurch, dass eigene Formelsammlungen nicht erlaubt sind. Bereitgestellt wird aber eine Mini-Formelsammlung (siehe Anhang). Meine Hoffnung ist, dass ich mir dadurch einerseits zumindest etwa 9 finanzmathematische Formeln (nämlich je 3 zu Renten, Kredit Tilgung) erspare, die praktisch wirklich schwierig zu merken sind (weil nur geringfügig nach mir völlig willkürlich erscheinenden Regeln unterschiedlich). Das soll über das "Newton Verfahren zur iterativen Auffindung von Nullstellen" funktionieren. Mit dabei sind auch 2 Formeln zur Rentenrechnung, ich glaube dass ich diese richtig interpretieren kann. Ich habe eine vage Ahnung, wie diese Newton-Sache nach einigen Formelumbildungsprozessen wohl von statten gehen mag, wie genau verstehe ich aber gar nicht.
Das zweite betrifft das Ausrechnen der Determinante einer Matrix. Ich hab mir dazu eine Reihe von Online Videos mit teils sehr grafischen Lösungen angesehen, die ich alle eigentlich verwirrend fand. In was für einer Weise kann mir diese Formel auf dem Blatt helfen?
Danke schon mal im Voraus. ich habe im Forum nach "Finanzmathematk Newton" gesucht und nichts sinnvolles gefunden. Wenn es online sinnvolle Quellen gibt und eine Beantwortung im Forum kein Sinn macht, einfach posten. Sorry wenn die Fragen zu unvorbereitet sind.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

13:30 Uhr, 07.03.2018

Hallo
das Newtonverfahren ist einfach eines zum Auffinden von Nullstellken,
Beispiele etwa wenn du

e^{x} = 3 x

lösen sollst, da gibt es keine Methode wie man direkt lösen kann. also nimmt man die Funktion

f (x) = e^{x} - 3 x

und sucht die Nullstelle

e^{x} - 3 x = 0

1. Schrit: wo liegt sie ungefähr? bei

x = 0

ist

f (x) = 1

bei

x = 1

ist

f (x) = e - 3 = - 0,2 . .

.
die Funktion wechselt zwischen 0 und 1 ihr vorzeichen, also muss die Nullstelle dazwischen liegen, deshalb fange ich an mit

x_{0} = 0,5

jetzt brauche ich noch

f' (x) = e^{x} - 3

dann kommt

x_{1} = 0,5 - \frac{f (0,5)}{f' (0,5)} = 0,5 - \frac{e^{0,5} - 1,5}{e^{0,5} - 3} = 0,61

x_{2} = 0,61 - \frac{e^{0,61} - 3 \cdot 0,61}{e^{0,61} - 3} = 0,619

also ist die Nullstelle bei etwa

x = 0,62

genauer müsst ihr in einer Klausur nicht rechnen,
ich finde dass die Veranschaulichung in wiki zum Newtonverfahren gut ist.

zu den Matrizen. in einer Klausur sind die höchstens

4 \times 4

da wird die Formel einfacher. du musst eigentlich nur Determinanten von

2 \times 2

Matrizen können, die Aij etwa

A_{23}

du streichst in deiner

3 \times 3

Matrix die zweit Zeile und die 3 te Spalte durch, es bleibt eine

2 \times 2

Matrix deren

det

du können solltest.
Gruß ledum

mathematikdummie aktiv_icon

12:28 Uhr, 08.03.2018

Ok, tausend dank auf jeden Fall, das mit der Determinante verstehe ich.
Aber diese Newton-Sache an einem Beispiel: Die Formel für den Rentenbarwert ist r*

[

(qn-1/q^n-1*(q-1)]. Wie krieg ich die mit der Newtonformel heraus? Oder muss ich mir am Ende tatsächlich ein Dutzend sich nur geringfügig voneinander unterscheidende Formeln auswendig merken?

ledum aktiv_icon

12:38 Uhr, 08.03.2018

Hallo
1. dein Ausdruck ist nict zu lesen. setze Klammern oder siehe wie schreibt man Formeln was etwa ist qn
2. das ist ja keine Gleichung, was ist gegeben, was gesucht? wenn du

r

und

q

und

n

gegeben hast musst du doch nur den Barwert ausrechnen?
also stell deine Frage konkreter: gesucht ist die Lösung der Gleichung......., gegeben ist...., gesucht ist...,
Gruß ledum

mathematikdummie aktiv_icon

12:54 Uhr, 08.03.2018

ok, ich versuche es mal genauer. Die Formel für den Rentenbarwert ist

R 0 = r \cdot \frac{q^{n} - 1}{q^{n - 1} \cdot (q - 1)}

. So erhält man

R 0,

den Rentenbarwert. Mein Problem ist jetzt nicht, den Rentenbarwert zu errechnen, mein Problem ist, überhaupt auf diese Formel zu kommen, da wir für die Prüfung eben keine Formelsammlung bekommen und in der offiziellen, erlaubten Formelsammlung dazu nur das Newtonverfahren angegeben ist (und 2 Formeln zu Renten, aber eben zB nicht jene für den Rentenbarwert geschweige denn für andere finanzmathematische Rechnungen, zb eine Annuität zum Zeitpunkt

T)

. Meine Vermutung war jetzt, dass man mit dem Newtonverfahren auf derartige Formeln kommen kann (die Alternative wäre dass die ernsthaft wollen dass man ein Dutzend Formeln auswendig lernt).

Enano

14:14 Uhr, 08.03.2018

Sieh dir mal

z . B

.
http//matheraum.de/wissen/Formeln_Finanzmathematik
an, um die Formeln zu verstehen.

"mein Problem ist, überhaupt auf diese Formel zu kommen,"

Auf deine Formel für den vorschüssigen Rentenbarwert kommst du ganz einfach, in dem du den ersten Teil der rechten Seite der Formel, die unter "Regelmäßig fortschreitende Renten, Arithmetisch" steht durch

q^{n - 1}

dividierst, also:

aus

R_{n} = r \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

wird

R_{0} = r \cdot \frac{q^{n} - 1}{q^{n - 1} (q - 1)}

Du brauchst dir dafür nur zu merken:

R_{0} = \frac{R_{n}}{q^{n - 1}}

für den voschüssigen Rentenbarwert

und

R_{0} = \frac{R_{n}}{q^{n}}

für den nachschüssigen Rentenbarwert

"Meine Vermutung war jetzt, dass man mit dem Newtonverfahren auf derartige Formeln kommen kann"

Diese Vermutung ist falsch.

Dieses Verfahren brauchst du

z . B

. um den Zinsfaktor bzw. den Zinssatz auszurechnen, denn bei mehr als zwei Zinsperioden, hast du es mit Äquivalenzgleichungen höheren Grades zu tun, die nicht ohne weiteres lösbar sind, so dass sich die Anwendung eines iterativen Näherungsverfahrens wie

z . B

. Regula falsi oder eben das Newton-Verfahren.
Wobei in der Finanzmathematik das Newton-Verfahren weniger geeignet ist, weil aufwendig und unzuverlässig.

mathematikdummie aktiv_icon

14:17 Uhr, 08.03.2018

Tausenddank!

Enano

14:28 Uhr, 08.03.2018

"..., so dass sich die Anwendung eines iterativen Näherungsverfahrens, wie

z . B

. Regula falsi oder eben das Newton-Verfahren, empfiehlt." ;-)

mathematikdummie aktiv_icon

10:16 Uhr, 09.03.2018

Ich hätte da noch eine Frage: Da ist wieder eine Sammlung all dieser verschiedenen Formeln verlinkt. Aber wie hängen sie zusammen? Nach welchen Regeln werden sie verändert? Also: Wie kamst du darauf: "Auf deine Formel für den vorschüssigen Rentenbarwert kommst du ganz einfach, in dem du den ersten Teil der rechten Seite der Formel, die unter "Regelmäßig fortschreitende Renten, Arithmetisch" steht durch qn−1 dividierst, also:

[

...]".
Nach welcher Regel funktioniert das? Ich weiß ja wie ich die Formeln anwende, das Problem ist, sich alle

12

zu merken, weil sie eben fast gleich sind und mir vollkommen unklar ist nach welchen Regeln da irgendwas passiert.

Enano

13:49 Uhr, 09.03.2018

"Da ist wieder eine Sammlung all dieser verschiedenen Formeln verlinkt. Aber wie hängen sie zusammen?"

Welche der beiden angegebenen Rentenformeln in welcher Form angewendet werden muss, wird doch anhand der Beispiele klar.

"Nach welcher Regel funktioniert das? "

Die Formel für den nachschüssigen Rentenendwert

R_{n} = r \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1} z . B

. kommt dadurch zustande, dass

n

Raten

r

einzeln auf den Stichtag aufgezinst werden und anschließend sämliche Endwerte addiert, also:

R_{n} = r \cdot q^{n - 1} + r \cdot q^{n - 2} + ... + r \cdot q^{2} + r \cdot q + r = r \sum_{k = 0}^{n - 1} q^{k} = r \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}, q \neq 0

Siehe auch Summenformel der endlichen geometrischen Reihe.

Bei dem vorschüssigen Rentenendwert wird das Ganze noch mit

q

multipliziert, weil die Ratenzahlungen nicht zum Ende der jeweiligen Zinsperiode, wie bei dem nachschüssigen Rentenendwert, sondern am Anfang der jeweiligen Zinsperiode erfolgen, also:

R_{n}

= r \cdot q \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}, q \neq 0

Der Barwert einer nachschüssigen Rente, ist der Zeitwert eine Zinsperiode vor der ersten Ratenzahlung. Der nachschüssige Rentenendwert wird also mit

q^{n}

abgezinst,

d . h

R_{0} = \frac{R_{n}}{q^{n}}

.
Der Barwert einer vorschüssigen Rente ist der Zeitwert am Tag der ersten Ratenzahlung.
Der nachschüssige Rentenendwert wird also mit

q^{n - 1}

abgezinst,

d . h ., R_{0}

´=

\frac{R_{n}}{q^{n - 1}}

oder der vorschüssige Rentenendwert mit

q^{n}, d . h ., R_{0}

´=

R_{n}

/ q^{n}

mathematikdummie aktiv_icon

13:16 Uhr, 12.03.2018

Danke auf jeden Fall. Aber ich werde das wohl auswendig lernen, ich versteh es einfach nicht (das von dir erklärte schon, aber die Frage nach bspw. der Annuität

[

oder dem Schuldenstand nach so und so viel Jahren und und und] in der Tilgungsrechnung kann ich mir damit nicht herleiten und im Endeffekt ist es weniger Aufwand das auswendig zu lernen denk ich mal).
Danke aber auf jeden Fall!

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