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Newtonsches Abkühlungsgesetz
Universität / Fachhochschule
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Tags: DGL, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Newton'sches Abkühlungsgesetz)
 
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Hallo zusammen, ich habe ein paar Fragen zum Newtonschen Abkühlungsgesetz. Ich hab mal meine Lösungsansätze mal dabei geschrieben: 1. Ist das die Differentialgleichung für die Temperatur eines Körpers? 2. Wie lautet die allgemeine Lösung? (Vlt kann jemand auch anschaulich erklären was damit Überhaupt genau gemeint ist?) 3. In Minuten kühlt ein Körper von 300°C auf 200°C ab. Umgebungstemperatur beträgt 20°C. Nach welcher Zeit beträgt die Temperatur 100°C? 200°C=20°C+(300°C-20°C)*e^(-k*10min) nach umstellen und dann den Wert wieder einsetzen 100°C=20°C+(300°C-20°C)*e^(-k*t) nach umstellen Ist das der Richtige Lösungsweg? Ich seh da irgendwie keinen Haken an der Sache, das verunsichert mich bei unserem Prof irgendwie Vielen dank schonmal im Vorraus für alle Antworten! Mfg slim Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Wenn du einen Topf voll Wasser von 90°C in einen Raum mit der Temperatur T_U=20° stellst wird er langsamer abkühlen, als in einem Raum mit 0°C, wenn das Wasser schon 22° hat iwir es länger dauern bis es 21° hat, als von 90° auf 89° . die Anderung der Temperatur ist proportional dem Unterschied zwisch der momentanen Temperatur und der tiefs möglichen (hier 20° bzw. 0°) also die Anderung pro Zeit die proportionalitätskonstante nennt man- . Negativ, weil die Temperatur ja kleiner wird)(k hängt von der Art des Topfes ab,, und der größe der Oberfläche.) das muss man in einem Versuch ermitteln! dann hast du die Dgl die allgemeine Lösung gibt dir zu jeder Zeit die Momentane Temperatur an. jetzt kannst du entweder Dgl lösen, dann geht das hier mit separatin der Konstanten: dT/(T-T_u)=-k*dt beide Seiten integriert ergibt beide Seiten mit hoch: T-T_u=e^(-kt+c= mit hat man T(t)=T_u+C_1*e^(-kt) weil man kennt kann man einsetzen und daraus bestimmen also daraus C1=T_o-Tu wenn du keine Dgl lösen kannst, nimm die gegebene Lösung, differenziere sie und setz sie in die Dgl ein um zu sehen, dass die Lösung stimmt. dein Rechen weg stimmt. Gruß ledum |
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Danke für die schnelle Antwort. Das hat mir auf jedenfall sehr geholfen! Ich habe jetzt für und raus. Also wenn ich dein Beispiel richtig verstanden haben passt das Ergebnis von der größe her, da ich doppelt so tief abkühle, aber aufgrund der geringeren Differenz zur Umgebung die Abkühlgeschwindigkeit im Verlauf kleiner wird. Das mit der Allgemeinen Lösung gilt dann vermutlich auch für andere Dimensionen wie den zb. den Weg? Auf jedenfall vielen dank nochmal! MfG slim |
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ad Dein a sollte ein sein und steht für die Umgebungstemperatur. Ansonsten - ja, das ist die DGL für den Abkühlvorgang ad Ja, das ist die allgemeine Lösung der DGL, wobei die Anfangstemperatur ist, also . Welche Erklärung benötigst du da noch? ad Ja, genau so gehts. Zu deinen Ergebnissen: ist nicht dimensionslos! Du kannst oder aber auch schreiben. Was die Zeit anlangt, bis die Temperatur 100°C beträgt, so komme ich auf rund also etwa 7 Sekunden weniger als dein Ergebnis. Vermutlich hast du mit dem grob gerundeten Wert für weitergerechnet. |
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Ja das a hatte ich irgendwo in einer Erklärung gefunden die ich nicht verstanden hatten. Die Dimension von hab ich auf dem Papier stehen, hab sie nur hier vergessen. Und auch mit dem Runden hast du Recht ;-) Ist für unseren Prof aber so auch ok. Der Rundet auch auf 3 also . Dann nochmal vielen dank für die Antworten und Erklärungen! MfG slim |
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