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Nichtlineare DGL 2. Ordnung/ Anfangswertproblem

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Anfangswertproblem, DGL 2-ter ordnung, Differentialgleichung, Gewöhnliche Differentialgleichungen, nicht linear, nichtlinear

Manuel91 aktiv_icon

09:03 Uhr, 25.05.2017

Hey Leute!

Kann mir jemand erklären wie ich beginnne eine nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung zu lösen?

Habe folgendes Beispiel:

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems

y'' = - {(y)}^{2} \cdot (y + \frac{1}{y}), y (0) = 1, y - (0) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}

.

An sich würde ich gerne das charakteristische Polynom aufstellen und dann weitermachen (ich bin mir also über die grundlegenden Schritte im klaren), ich weiß allerdings nicht wie ich bei einer nichtlinearen DGL beginne.

Ich hab mal alles auf die linke Seite gebracht, sodass ich

y'' + {(y')}^{2} \cdot (y + (\frac{1}{y})) = 0

habe. Wie gehen dann die ersten weiteren Schritte?

Danke im Voraus und LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

09:07 Uhr, 25.05.2017

"An sich würde ich gerne das charakteristische Polynom aufstellen"

Geht nicht. Das geht nur für lineare Gleichungen.
Nichtlineare löst man mit verschiedenen Ansätzen wie z.B. Substitutionen.
Aber es gibt leider kein einheitliches Verfahren.
Was wurde darüber in der Vorlesung gesagt?

DrBoogie aktiv_icon

09:08 Uhr, 25.05.2017

Du hast übrigens zwei verschieden Gleichungen drin, welche ist richtig?

Manuel91 aktiv_icon

09:12 Uhr, 25.05.2017

Oh, ich habe einmal ein ' vergessen. Die Angabe lautet:

y'' = - {(y')}^{2} \cdot (y + \frac{1}{y}) y (0) = 1, y' (0) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}

Unsere Vorlesungen sind zum Vergessen, daher versuche ich so gut es geht durch das Internet zu lernen. Nur manchmal finde ich leider nicht besonders viel zu gewissen Themen.

LG

Manuel91 aktiv_icon

09:38 Uhr, 25.05.2017

Hallo, ich habe jetzt versucht zu substituieren, nämlich:

y' = x

und

y'' = \frac{d x}{d y} \cdot x

Gleiche Variablen auf eine Seite bringen:

\frac{1}{x} \cdot d x = - y - \frac{1}{y} \cdot d y

Dann integrieren:

ln (x) + C 1 = - \frac{y^{2}}{2} - ln (y) + C 2

Jetzt kann ich ja sagen

C 2 - C 1

ist meine neue Variable

C,

also habe ich

ln (x) = - \frac{y^{2}}{2} - ln (y) + C

Jetzt rücksubstituieren:

ln (y') = - \frac{y^{2}}{2} - ln (y) + C

Stimmt das soweit? Wenn ja, muss ich doch jetzt meine Anfangswerte einsetzen aber wie mache ich das genau? LG

DrBoogie aktiv_icon

09:58 Uhr, 25.05.2017

"Stimmt das soweit?"

Ja.

"Wenn ja, muss ich doch jetzt meine Anfangswerte einsetzen"

Ne, Exponente nehmen, um auf

y^{ʹ} = . . .

zu kommen und dann diese DGL lösen.

Manuel91 aktiv_icon

10:02 Uhr, 25.05.2017

Dann bekomme ich doch:

y' = - e^{\frac{y^{2}}{2}} - y + e^{c}

Jetzt weiß ich allerdings wieder nicht weiter. Wann brauche ich dann meine AWB?

LG

DrBoogie aktiv_icon

10:09 Uhr, 25.05.2017

"Dann bekomme ich doch"

Nein. Achte darauf, dass

e^{a + b} = e^{a} e^{b}

und nicht

e^{a} + e^{b}

.

Anfangsbedingung am Ende, wenn Du die letzte DGL gelöst hast.

Manuel91 aktiv_icon

10:13 Uhr, 25.05.2017

Also

y' = - e^{\frac{y^{2}}{2}} \cdot (- y) \cdot e^{C}

Manuel91 aktiv_icon

10:18 Uhr, 25.05.2017

Falls ja, wie geht es dann weiter? Dann habe ich doch wieder eine nichtlineare DGL zu lösen?

DrBoogie aktiv_icon

10:21 Uhr, 25.05.2017

Nein, immer noch nicht. Kuck doch die Regeln für Exponente und Log.

Richtig ist

e^{- y^{2} / 2} / y

y^{ʹ} = C e^{- y^{2} / 2} / y

ist direkt lösbar, durch Trennung der Variablen.

Manuel91 aktiv_icon

10:36 Uhr, 25.05.2017

y' = C \cdot (\frac{e^{- (\frac{y^{2}}{2})}}{y})

oder

y' = \frac{C \cdot e^{- (\frac{y^{2}}{2})}}{y}

Manuel91 aktiv_icon

10:37 Uhr, 25.05.2017

Tut mir leid aber ich finde auf die schnelle nichts Passendes bzgl. E-Funktion..

DrBoogie aktiv_icon

10:49 Uhr, 25.05.2017

Ja, so.
Trennung der Variablen:

y^{ʹ} y e^{y^{2} / 2} = C = > (e^{y^{2} / 2})^{ʹ} = C = > e^{y^{2} / 2} = C x + C_{0} = > y^{2} / 2 = \ln (C x + C_{0}) = >

= > y = \pm \sqrt{2 \ln (C x + C_{0})}

.

Und hier die Anfangsbedingungen verwenden (für

y^{ʹ} (0)

die frühere Gleichung

y^{ʹ} = C e^{y^{2} / 2} / y

nutzen)

Manuel91 aktiv_icon

11:13 Uhr, 25.05.2017

Ich fasse zusammen: Ich schreibe statt

y' = \frac{d y}{d x}

dann habe ich:

\frac{d y}{d x} = \frac{C \cdot e^{- (\frac{y^{2}}{2})}}{y}

Dann bringe ich jeweils

d x

und

y

auf die andere Seite und habe:

y \cdot d y = (C \cdot e^{- (\frac{y^{2}}{2})}) \cdot d x

Wenn ich durch

e^{- (\frac{y^{2}}{2})}

dividiere habe ich

y \cdot e^{\frac{y^{2}}{2}} d y = C \cdot d x

Nur was passiert dann mit dem einzelnen y?

Die restlichen Umformungen verstehe ich, danke vielmals!

DrBoogie aktiv_icon

11:17 Uhr, 25.05.2017

"Nur was passiert dann mit dem einzelnen y?"

Es geht unter Differential.
Ist dir klar, dass

(e^{y^{2} / 2})^{ʹ} = y^{ʹ} \cdot y \cdot e^{y^{2} / 2}

? Das ist die Anwendung der Kettenregel. Beachte, dass da der Faktor

y

auftaucht. Ich habe genau das verwendet, nur in die andere Richtung. Solche "Kniffe" ist es besser einfach zu merken. Zwar würdest Du dasselbe erreichen, wenn Du die Substitution

y^{2} / 2 = z

machen würdest, das wäre nur etwas umständlicher.

Manuel91 aktiv_icon

11:31 Uhr, 25.05.2017

War mir nicht bewusst, aber jetzt weiß ich es! Danke für die ausführliche Hilfe, denke ich komme so zur endgültigen Lösung, auch bei meinem zweiten Bsp. Vielen Dank!

MissingGenius aktiv_icon

22:10 Uhr, 22.03.2019

Ich weiß, dass der Thread schon etwas älter ist, er hat mir aber schon etwas weitergeholfen. Ich verstehe nicht ganz, wie du auf die Substitution kommst und das Ende mit dem Cx-Co versteh ich auch nicht. Könntest du die Rechnung noch bitte zuende führen?

Mein Problem sieht wie folgt aus: Ich habe

y'' = \frac{1}{y}

Ich habe jetzt wie du substituiert:

y'' = \frac{d x}{d y} \cdot x

Eingesetzt komme ich auf:

x d x = \frac{1}{y} d y

Nach der Integration habe ich

\frac{1}{2} x^{2} = ln (y)

Wie komme ich jetzt auf die Rücksubstitution und wie mache ich weiter?

Du hast für die Rücksubstitution angegeben

y' = x

Wenn ich

y''

integriere komme ich aber auf

y' = x d x

und nicht

y' = x

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