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Nichtlineare DGL 2.Ordnung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

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02:22 Uhr, 08.03.2018

Hallo Leute,

ich bin gearde etwas am Verzweifeln. Ich soll 2 DGLs lösen. Beide Lauten

1) y'' (1 + cos (k y)) - \frac{1}{2} {(y')}^{2} sin (k y) = 0

2) y'' (1 + cos (k y)) - \frac{1}{2} {(y')}^{2} sin (k y) + b (cos (y) - cos (a y)) = 0

Vielleicht erstmal die Frage: Sind diese überhaupt lösbar? Die sehen verdammt schwierig aus.
Als Tipp wurde uns die Thematik Epizykloide und Lagrange II (Mechanik) gegeben. Aber mit diesen Tipps kann ich nur die DGLs herleiten, nicht lösen. Wahrscheinlich soll uns der Tipp sagen, dass wir den Sinus und Kosinus nicht annähern dürfen. Aber gerade dadurch wird die DGL meiner Meinung nach nicht mehr analytisch lösbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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09:51 Uhr, 08.03.2018

Das sind autonome Gleichungen, sie löst man, indem man

y

als Variable erklärt und

y^{ʹ}

als Funktion davon.
S. de.wikipedia.org/wiki/Autonome_Differentialgleichung
oder auch www.onlinemathe.de/forum/Autonome-Differentialgleichung-2-Ordnung

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13:38 Uhr, 09.03.2018

Es tut mir Leid, aber damit komme ich irgendwie nicht weiter. Ich habe vorher noch nicht mit autonomen DGLs gearbeitet. Wie formuliere ich zum Beispiel die erste um?

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13:50 Uhr, 09.03.2018

v := y^{ʹ}

y ʺ = v^{ʹ} = \frac{d v}{d x} = \frac{d v}{d y} \frac{d y}{d x} = \frac{d v}{d y} y^{ʹ} = v \frac{d v}{d y}

.

Damit bekommt man die Gleichung

v \frac{d v}{d y} (1 + \cos (k y)) - \frac{v^{2}}{2} \sin (k y) = 0

.
Man fasst dabei

v

als Funktion von

y

auf und hat nach der Kürzung durch

v

eine einfache Gleichung, die man durch Trennung der Variablen lösen kann.

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16:59 Uhr, 09.03.2018

Danke, das hat meinem Verständnis für autonome DGLs sehr verbessert. Ich habe dues nun auch soweit gelöst:

v = c \cdot {(cos (k \frac{y}{2}))}^{- \frac{1}{k}}

c_{1} t + c_{2} = \int {(cos (k \frac{y}{2}))}^{\frac{1}{k}} d y

Dieses Integral ist irgendwie sehr seltsam... Ich weiß nicht, wie ich es lösen soll. Für

k = 1

ist das ja kein Problem, aber bei

k = 2

scheint es nicht mehr bestimmbar zu sein.

ledum aktiv_icon

17:06 Uhr, 09.03.2018

Hallo
wie kommst du auf die Lösung für

v,

sie ist falsch, was du leicht durch einsetzen sehen kannst.
Gruß ledum

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17:09 Uhr, 09.03.2018

"Ich habe dues nun auch soweit gelöst"

Das scheint mir nicht richtig zu sein.

\frac{v^{ʹ}}{v} = \frac{\sin (k y)}{2 (1 + \cos (k y))}

\ln (v) = - \frac{1}{2 k} \ln (1 + \cos (k y)) + C_{0}

v = C \exp (\frac{- 1}{2 k} \ln (1 + \cos (k y))) = C (1 + \cos (k y))^{- 1 / 2 k}

.

Und da

v = y^{ʹ}

, muss man jetzt wieder Variablen trennen. Am Ende muss man

(1 + \cos (k y))^{1 / 2 k}

integrieren. Was dann analytisch nicht möglich ist für die meisten

k

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17:26 Uhr, 09.03.2018

v = C {(1 + cos (k y))}^{- \frac{1}{2 k}} = C {({cos}^{2} (\frac{k y}{2}))}^{- \frac{1}{2 k}} = C {(cos (\frac{k y}{2}))}^{- \frac{1}{k}}

DrBoogie aktiv_icon

19:21 Uhr, 09.03.2018

Das ist Ok, hilft nur wenig.

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