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Nichtlineare DGL in lineare DGL verwandeln

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Linear

lillefjaeril aktiv_icon

15:27 Uhr, 13.06.2015

Hallo!

Ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe;

Verwandel

y' - y + y^{2} = 0

mit

u = y^{- 1}

in eine lineare DGL

Mein Ansatz war

u = y^{- 1}

y = \frac{1}{u}

y' = - u^{- 2}

y^{2} = u^{- 2}

wenn ich das dann einsetze erhalte ich

- \frac{1}{u} = 0

- y = 0

aber das kommt mir nicht richtig vor.

in Aufgabenteil

b

soll ich nämlich
"Bestimmen Sie dann fur die Differentialgleichung in der Variablen

u

die allgemeine

L

̈osung und
ermitteln Sie anschließend durch Rucksubstitution die gesuchte Funktion y(x)."

Das ergibt dann irgendwie keinen Sinn mehr! Ich bitte um Denkanstöße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

15:44 Uhr, 13.06.2015

Hallo,

die Ableitung von

y = u^{- 1}

ist

y' = - \frac{1}{u^{2}} \cdot u'

Damit sollte die Umwandlung in eine lineare DGL klappen.

Viele Grüße
Yokozuna

lillefjaeril aktiv_icon

17:29 Uhr, 13.06.2015

Hm, danke erstmal aber irgendwie hat mich das noch mehr verwirrt.

Ich substituiere also mit

u = y^{- 1},

stelle um nach

y

y = \frac{1}{u}

y' = (- \frac{1}{u^{2}}) \cdot u'

dann setz ich das ein und erhalte

(- \frac{1}{u^{2}}) \cdot u' = u^{- 1} + u^{- 2}

stelle nach

u'

um (?) und erhalte

u' = - u - 1

und integriere und erhalte

u = - \frac{1}{2} u^{2} - u

aber irgendwie kommt mir das nich koscher vor, weil ich dann wenn ich das rücksubstituiere immer noch nichts lineares erhalte, ich bitte nochmal um Denkanstoß für mein verwirrtes Hirn.

pwmeyer aktiv_icon

17:36 Uhr, 13.06.2015

Hallo,

hast Du Dich schon jemals mit Differentialgleichungen beschäftig.

Die Gleichung in

u

ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Dafür gibt es klare Lösungsverfahren.

Was Du gemacht hast, sieht so aus, als ob Du so etwas noch nie gesehen hast.

Gruß pwm

lillefjaeril aktiv_icon

17:39 Uhr, 13.06.2015

Haben gerade erst mit dem Thema angefangen und eine solche Aussage hilft mir leider auch nicht weiter. Hilfreicher wäre mir einen Hinweis zu geben, wie man es löst. Eine normale DGL kann ich lösen, nur bei Substitutionen hapert es irgendwie. Da komm ich durcheinander.

Vielen Dank für all diejenigen, die mir konstruktive Hilfe anbieten :-)

Yokozuna aktiv_icon

20:10 Uhr, 13.06.2015

Hallo,

also zunächst hast Du einen Vorzeichenfehler. Nach der Substitution sollte es wohl eher heißen:

u' = - u + 1

Üblicherweise stellt man alle Terme mit der gesuchten Funktion und deren Ableitungen auf die linke Seite und den Rest auf die rechte Seite, also:

u' + u = 1

\to

"aber irgendwie kommt mir das nich koscher vor, weil ich dann wenn ich das rücksubstituiere immer noch nichts lineares erhalte"

Es war in der Aufgabe nicht die Rede davon, dass Du nach der Rücksubstitution etwas Lineares erhältst, sondern nach der Substitution:

u' + u = 1

ist eine lineare, inhomogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Wie pwmeyer bereits sagte, gibt es hierfür Lösungsverfahren. In diesem Fall könnte man die DGL

u' + u = 1

auch durch Trennung der Variablen lösen.

Das Ergebnis wäre dann eine allgemeine Lösung

u = u (x)

dieser Differentialgleichung und da die Substitution

y = \frac{1}{u}

lautete, wäre dann die allgemeine Lösung der ursprünglichen DGL

y (x) = \frac{1}{u (x)}

\to

"Haben gerade erst mit dem Thema angefangen ..."

Ich gehe mal davon aus, dass Du mit "dem Thema" das Thema "Gewöhnliche Differentialgleichungen" meinst. Ich weiß auch nicht, was "... gerade damit angefangen ..." bedeutet (einige Tage, einige Wochen) und was ihr bisher in eurer Vorlesung gelernt habt und was ich damit als vorhandenes Wissen voraussetzen kann. Nach Deinem untauglichen Lösungsversuch von

u' = - u + 1

scheint das noch nicht allzu viel zu sein. Es macht eigentlich keinen Sinn, so eine Aufgabe, wie die von Dir genannte anzugehen, wenn man nicht weiß, wie man eine lineare, inhomogene DGL löst, ja wenn Du noch nicht mal erkennst, dass Du eine solche mit

u' + u = 1

vor Dir hast. Da fehlen schlicht und einfach die einfachsten Grundlagen und es ist im Rahmen dieses Forums nicht möglich, diese zu vermitteln, das ist einfach zu viel.
Deshalb die konstruktive Hilfe: Beschäftige Dich erst mal mit einfacheren DGL, also

z . B

. solche, die man durch Trennung der Variablen lösen kann oder eben linearen DGL, damit Du damit erst mal vertraut bist.

\to

"Eine normale DGL kann ich lösen, ..."

Ich weiß leider nicht, was bei Dir eine "normale DGL" ist. Das ist keine Klasseneinteilung, die üblicherweise bei DGLs verwendet wird.

Wenn Du Dir selbst diese Aufgabe zu Übungszwecken ausgesucht hast, dann nochmal den gutgemeinten Rat: Fange erst mal mit einfacheren DGLs an.
Wenn die Aufgabe von Deinem Dozenten gestellt wurde, dann solltet ihr eigentlich das Thema "lineare DGL" schon behandelt haben und dann hast Du offensichtlich irgendwas in der Vorlesung nicht mitbekommen. In diesem Fall solltest Du das fehlende Wissen nochmal im Vorlesungsskript nachlesen.

Viele Grüße
Yokozuna

lillefjaeril aktiv_icon

21:15 Uhr, 13.06.2015

Vielen Dank,Yokuzuna, ich denke, ich hab es jetzt gelöst.
Mir ist bewusst, was lineare homogene/inhomogene und nicht lineare DGL 1. bis n-ter Ordnung sind und auch die verschiedenen Ansätze sie zu lösen sind mir bekannt. Jedoch ist eine Vorlesung nun einmal kein Schulunterricht, insofern stand ich da einfach auf dem Schlauch, es kann nicht jeder ein Genie in Mathematik sein,

v . a

. wenn man es einfach als Pflicht belegen muss.
Ich habe ja auch keine Komplettlösung verlangt, sondern lediglich nette Hinweise, insofern empfand ich es als ein wenig harsch so behandelt zu werden ;-)

Dennoch vielen Dank für eure Hilfe.

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