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Nichttriviale Lösung eines Gleichungssystems

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Ax=0, Matrizenrechnung, nichttriviale Lösung

Conny594 aktiv_icon

18:38 Uhr, 12.09.2012

Hallo!

Stehe vor folgendem Problem:

Gegeben sei die Matrix A und der Vektor

b :

A = (\begin{matrix} 2 & 4 & 1 \\ 7 & a & 1 \\ 2^{a} & 2^{a} & 0 \end{matrix}) b = (\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 1 \end{matrix})

Frage: Für welche Werte

a \in ℝ

besitzt Ax=0 eine nichttriviale Lösung?

Meine Antwort:
Eine nichttriviale Lösung bedeutet doch unendlich viele Lösungen, dh. Rg(A)<n
daher habe ich den Gauß Algorithmus angewandt.
Das sieht dann so aus:

(\begin{matrix} 2 & 4 & 1 \\ 7 & a & 1 \\ 2^{a} & 2^{a} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 1 \end{matrix})

Jetzt nehm ich die 1. Zeile mal

\frac{1}{2}

(\begin{matrix} 1 & 2 & \frac{1}{2} \\ 7 & a & 1 \\ 2^{a} & 2^{a} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{matrix})

nächster Schritt: 2. Zeile

- 7

mal 1. Zeile
3. Zeile

- 2^{a}

mal 1. Zeile

(\begin{matrix} 1 & 2 & \frac{1}{2} \\ 0 & a - 14 & - \frac{5}{2} \\ 0 & - 2^{a} & - 1^{a} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 - 2^{a} \end{matrix})

Jetzt komm ich irgendwie nicht mehr weiter

. .

. ich sollte auf

2^{a} (9 - a) = 0

kommen.

Ich hoff man kennt sich aus, wusste nicht wie ich den Gauß hier sonst anschreiben soll

. .

.

Danke schon mal und lg
Conny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Gammler aktiv_icon

19:00 Uhr, 12.09.2012

Bei einem Linearen Gleichungssystem ist die triviale Lösung normalerweise der Nullvektor.

Ich verstehe aber auch nicht, inwiefern der Vektor

b

überhaupt in deine Matrizengleichung eingebaut ist?

A \cdot \vec{x} = 0

Der Nullvektor

= (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

würde das System lösen, das täte trivial bedeuten.

Conny594 aktiv_icon

18:44 Uhr, 13.09.2012

Hmmm

. .

. der Vektor

b

ist vermutlich für die Frage

b

angegeben

. .

. da gehts um die eindeutige Lösung des Gleichungssystems

. .

.

Aber wie geh ich die Sache dann an??

pwmeyer aktiv_icon

19:58 Uhr, 13.09.2012

Hallo,

Du hast Dich bei der Position

(3,3)

verrechnet / verschrieben, müsste

- \frac{1}{2} \cdot 2^{a}

sein.

Du kannst dann die 3. Zeile durch

2^{a}

teilen, 2. und 3. Zeile vertauschen und weiter umformen.

Gruß pwm

Conny594 aktiv_icon

20:29 Uhr, 13.09.2012

Ach ja

...

. aber auf die Lösung komm ich trotzdem nicht

: o (

bei

3,3

sollte zum Schluss ja

2^{a} (9 - a)

stehen, oder?

pwmeyer aktiv_icon

07:59 Uhr, 14.09.2012

Hallo,

was am Ende unten steht, hängt von dem Rechenweg ab - fest steht nur die Bedingung

9 - a = 0

.

Wenn es tatsächlich nur um die Frage nach der Existenz von nichttrivialen Lösungen von Ax=0 geht, kann man auch die Determinante von A berechnen, was möglicherweise eher zu dem von Dir genannten Ergebnis führt.

Gruß pwm

Conny594 aktiv_icon

13:14 Uhr, 16.09.2012

ich komm nicht auf die Lösung