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Nilpotente Matrix, Endomorphismus, Nilpotenzgrad

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Endomorphismus, Matrix, Nilpotent, Nilpotenzgrad

Fabienne- aktiv_icon

09:02 Uhr, 01.06.2014

Hi, ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe:

Sei

V

ein n-dimensionaler K-Vektorraum und sei

φ \in E n d (V)

nilpotent mit Nilpotenzgrad

d

. Zeigen Sie, dass gilt:

d \leq n

Wir haben folgendes Theorem:

Sei V ein K-Vektorraum, sei

φ \in E n d (V)

nilpotent vom Nilpotenzgrad d\geq 1. Dann gibt es eine Familie von Unterräumen

U_{i} \subseteq V

i \in I

sowie Vektoren

u_{i} \in U_{i}

, so dass gilt:

I)

V = \oplus_{i \in I} U_{i}

II)

d i m (U_{i}) = d_{i}

und

U_{i}

hat als Basis

{u_{i}, φ (u_{i}), φ^{2} (u_{i}), . . ., φ^{d - 1} (u_{i})}

III)

φ^{d_{i}} (u_{i}) = 0

, also ist

U_{i}

φ

-invariant

IV)

d = m a x {d_{i} ∣ i \in I}

Ist eine dieser Aussagen hilfreich?
Ich hatte vielleicht an einen Induktionsbeweis gedacht.
Ansonsten kommt mir die Aufgabe ansich relativ trivial vor, aber ich kriege es trotzdem nicht hin. :'(

Lieben Dank im voraus.

<3

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Shipwater aktiv_icon

10:25 Uhr, 01.06.2014

Du musst dir nur

φ^{n} = 0

überlegen. Siehst du warum das gilt?

Fabienne- aktiv_icon

10:45 Uhr, 01.06.2014

Naja, wenn ich einen n-dimensionalen Endomorphismus habe, dann ist ja klar, dass wenn ich die "maximale Dimension" erreiche die Matrix irgendwann nur noch auf Null abbildet, weil "noch weiter" geht es ja nicht...

Oder wie meinst du das?

Shipwater aktiv_icon

11:19 Uhr, 01.06.2014

Nein, du musst natürlich verwenden, dass

φ

nilpotent ist.

φ^{n} = 0

hast du nicht für jedes

φ \in E n d (V),

nimm doch

z . B

. die Identität auf

V

. Wie sieht denn das charakteristische Polynom von einem nilpotenten

φ \in E n d (V)

aus? Wenn du dir das überlegt hast, brauchst du nur noch den Satz von Cayley-Hamilton.

Fabienne- aktiv_icon

11:31 Uhr, 01.06.2014

Der Satz von Cayley Hamiltion sagt ja, dass wenn ich ein charakteristisches Polynom habe:

χ_{X} = p_{0} + p_{1} T + . . . + p_{n} T^{n}

und

X \in K^{n \times n}

Dann gilt

χ_{X} (X) = p_{0} E + p_{1} X + . . . + p_{n} X^{n} = 0

Das charakteristische Polynom einer Nilpotenten Matrix hat die Form:

χ_{φ} (λ) = d e t (λ E - φ) = λ^{n}

Das haben wir in der Vorlesung aber nicht bewiesen.

Damit würde dann aber die Aussage direkt durch den Satz von Cayley Hamiltion folgen, denn dann muss ja