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Nilpotente Matrix, Invertierbar

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Lineare Abbildungen

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Fabienne- aktiv_icon

15:44 Uhr, 25.05.2014

Hallo, ich habe gerade ein Problem mit dieser Aufgabe :'(

Gegeben Sei eine nilpotente Matrix

A \in K^{n \times n}

und

λ \in K - {0}

beliebig.

Zeigen Sie, dass die Matrix

E \cdot λ + A

invertierbar ist.

E ist die Einheitsmatrix.

Um zu zeigen, dass dies invertierbar ist, möchte ich zeigen, dass

d e t (E \cdot λ + A) \neq 0

, aber ich kann das nicht wirklich umsetzen. :'(

Eine Nilpotente Matrix ist ja irgendwann Null wenn ich sie nur oft genug mit sich selbst multipliziere.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:34 Uhr, 25.05.2014

Hallo,

mache dich vertraut mit der Identität

1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots = \frac{1}{1 - x}

für geeignete

x

.

Überlege, wie sich das an deine Situation anpassen lässt. Bedenke, dass

A

nilpotent ist.

Mfg Michael

Fabienne- aktiv_icon

16:37 Uhr, 25.05.2014

Daran habe ich bereits gedacht. Weil A ja Nilpotent ist mit nilpotenzgrad k, wobei k natürlich beliebig ist, gilt

E_{λ} = E_{λ} + A^{k} = (E_{λ} + A) (E_{λ} - A - A^{2} - . . . - A^{k - 1})

Wobei ich mit

E_{λ}

die Einheitsmatrix meine welche auf der Diagonalen natürlich Lambda als Eintrag hat.

Wusste aber nicht so recht ob mich das weiter bringt.

Dann ist

E_{λ} \cdot (E_{λ} - A - A^{2} - . . . - A^{k - 1})^{- 1} = E_{λ} + A

Mathe-Steve aktiv_icon

17:07 Uhr, 25.05.2014

Hallo,

da habe ich erhebliche Zweifel, dass Deine Gleichung stimmt.

Wie kommst Du denn auf die?

Gruß

Stephan

michaL aktiv_icon

17:10 Uhr, 25.05.2014

Hallo,

der Weg ist schon GRUNDSÄTZLICH korrekt. Nur - wie Mathe-Steve richtig einbringt - ist deine Gleichung noch nicht in Ordnung.

Der Nachweis, dass eine Matrix inverteierbar ist, wird auch dadurch erbracht, dass man die Inverse konkret (oder halbwegs konkret) angibt!

Mfg MIchael

Fabienne- aktiv_icon

17:12 Uhr, 25.05.2014

Es gilt doch

1 + x + x^{2} + . . . + x^{n} = S

x + x^{2} + . . . + x^{n + 1} = S x

1 - x^{n + 1} = S (1 - x)

1 - x^{n + 1} = (1 + x + x^{2} + . . . + x^{n}) (1 - x)

Übertragen auf Matrizen ist 1 also einfach E_{\lambda} und das plus kann ich ja schreiben als

- (- A)

michaL aktiv_icon

17:14 Uhr, 25.05.2014

Hallo,

richtig. Gut!

Aber

(- A)^{2}

ist nur in Sonderfällen gleich

- A^{2}

.

Mfg Michael

Fabienne- aktiv_icon

17:15 Uhr, 25.05.2014

Und wie geht es dann?

michaL aktiv_icon

17:34 Uhr, 25.05.2014

Hallo,

> Und wie geht es dann?

Das möchte ich dich bitten, doch nochmal selber zu probieren!
Lass doch erstmal die Klammern da und löse nachher auf!

> Übertragen auf Matrizen ist 1 also einfach E_{\lambda} und das plus kann ich ja schreiben als −(−A).

Mfg Michael

Mathe-Steve aktiv_icon

18:04 Uhr, 25.05.2014

1 ist natürlich

E

und nicht

E_{λ}

.
Versuch es mal mit

λ \cdot (E + \frac{1}{λ} \cdot A)

Fabienne- aktiv_icon

18:04 Uhr, 25.05.2014

Naja, ich wüsste aber leider nicht wie :'(

Fabienne- aktiv_icon

18:06 Uhr, 25.05.2014

Mit dieser Umformung die geometrische Reihe anwenden?

Mathe-Steve aktiv_icon

19:42 Uhr, 25.05.2014

$1 + x + ... + x^{k - 1} = \frac{1 - x^{k}}{1 - x}$

Wähle k so, dass $A^{k} = 0$ .

$E + (- \frac{1}{λ} A) + ... + {(- \frac{1}{λ} A)}^{k - 1} = \frac{E}{E - (- \frac{1}{λ} A)}$ , letzteres ist böse, heißt natürlich ${(E - (- \frac{1}{λ} A))}^{- 1}$

${(E + \frac{1}{λ} A)}^{- 1} = E + (- \frac{1}{λ} A) + ... + (- \frac{1}{λ} A)^{k - 1}$

${(λ E + A)}^{- 1} = {(λ (E + \frac{1}{λ} A))}^{- 1} = λ^{- 1} (E + \frac{1}{λ} A)^{- 1}$

Fabienne- aktiv_icon

20:23 Uhr, 25.05.2014

Und damit wäre gezeigt, dass die Matrix invertierbar ist, weil der letzte Ausdruck auf jeden Fall invertierbar ist?

Vielen Dank für deine Mühe. <3

Mathe-Steve aktiv_icon

20:26 Uhr, 25.05.2014

Du kannst natürlich auch noch für den letzen Ausdruck die vorletzte Zeile einsetzen und ausmultiplizieren, dann steht die Inverse explizit dar.

Fabienne- aktiv_icon

20:29 Uhr, 25.05.2014

Stimmt.

Vielen Dank.

Ich liebe euch. <3

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