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Nilpotenter Endomorphismus
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Tags: Endomorphismus, Lineare Unabhängigkeit, Nilpotent
 
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Hallo V sei ein endlich dim. Vektorraum und f ein nilpotenter Endomorphismus End(V) mit f^m=0 aber f^(m-1) ungleich null zu zeigen: Ist v aus V und f^(m-1) ungleich null, dann ist (v,f(v),...,f^{m-1}(v)) eine freie Familie. Ich habe das nun schon eingermaßen hinbekommen durch Anwenden des Endomorphismus auf Damit komme ich nach einmaligem Anwenden auf Damit folgt schonmal x1=0 nur ich habe Probleme das jetzt allgemein mit Induktion oder was auch immer zu zeigen, dass auch wirklich x_i=0 gilt für alle i Wie könnte das aussehen ? Gruß Björn Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo Björn, ich gehe einmal davon aus, dass es sich bei einer freien Familie um den Begriff der linearen Unabhängigkeit handelt. So hat man das jedenfalls zu meiner Zeit bezeichnet. Sei also dieser Endomorphismus mit und . Sei (mit . Angenommen es gibt mindestens ein , dann wähle so, dass (kleinster Index mit ). Es gilt . Damit läßt sich obige Gleichung umformen zu . Wenn Du hierauf anwendest, erhältst Du . Da die rechte Seite verschwindet und ist, müßte im Widerspruch zur Annahme gleich 0 sein. Gruß Rentnerin |
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Hallo Rentnerin, vielen Dank für deine Antwort, ein sehr schöner eleganter, indirekter Beweis :) Nochmal zum Verständnis: Du ziehst also aus der Summe raus, nutzt aus dass für i=0 bis i=k-1 eh alles verschwindet wegen , passt den Laufindex i entsprechend mit k+1 an und wendest genau darum an, damit links gerade verbleibt, was laut Voraussetzung ungleich der Nullabbildung sein muss. Richtig so ? |
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Ja, richtig so. P.S. Deine Aufgabe mit dem CP ist korrekt. Selbstverständlich musst Du - wie Du ja es auch durchgeführt hast - die Richtigkeit beweisen und nicht nur das Polynom angeben. Beim Induktionsschritt hätte ich gerne noch eine kurze Erklärung gesehen, dass die I.V. mit der kleineren Matrix "rechts unten" verwendet werden darf, weil es sich um eine strukturerhaltende Vorgehensweise handelt. Aber es muss nicht sein. |
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Das ist wirklich super, dass du auch noch auf die Aufgabe ein Auge geworfen hast, viiielen Dank. Im Übrigen wohl nicht ganz unwichtig auf diese Strukturerhaltung hinzuweisen, hast du so auf Anhieb ein Beispiel im Kopf, wo man durch bestimmte Umformungen dann diese Erhaltung verletzt ? Bei dieser Aufgabe kam es ja automatisch dazu, da ich in jedem Fall mit LaPlace Entwicklung eine Determinante berechnen musste, um an das CP zu kommen. Einzig und allein davon habe ich mich quasi durch den Beweis leiten lassen und mir eher nicht so Gedanken über Strukturerhaltung gemacht ;) |
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Zu strukturverletzend fällt mir zum Glück nichts ein, da dann wohl das Prinzip der Vollständigen Induktion vielleicht auch nicht mehr anwendbar ist, das ja letztendlich auf so strukturerhaltende Formen vom Übergang von einer zur nächsten natürlichen Zahl ausgerichtet ist. |
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In Ordnung, mit der Antwort kann ich leben =) Ich habe noch eine Aufgabe zu nilpotenten Endomorphismen, wenn du Zeit und Lust hast kannst du mir da ja vielleicht auch weiterhelfen: Sei V ein n-dim. K-VR und t aus K und f ein Endomorphismus von V mit charakteristischem Polynom zu zeigen: ist ein nilpotenter Endomorphismus. Ich habe dazu diesen Satz gefunden, aus dem die Behauptung ja quasi schon folgt. http//de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cayley-Hamilton Diesen Satz hatten wir aber noch nicht und ich würde es deshalb lieber anders lösen wollen. Hast du eine Idee wie man das machen könnte ? |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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