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Nominative relative Wachstumsrate

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Tags: Finanzmathematik, Sonstig

Helpiii aktiv_icon

19:57 Uhr, 07.10.2021

In einer Käßeverpackung befinden sich zum Zeitpunkt der Verpackung

117.000

Bakterien.

29

Stunden später sind es schon

679.000

. Die Wachstumsrate ist dabei konstant.
Wie hoch ist die nominelle relative Wachstumsrate pro Stunde

(\in

Prozent)?
Stimmt das Ergebnis

6,25

?
Danke für alle Antworten!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

ledum aktiv_icon

20:05 Uhr, 07.10.2021

Dein Ergebnis ist richtig, (netter wäre ein kurzer Rechenweg gewesen, dann muss ich keinen TR anwerfen
Gruß ledum

Helpiii aktiv_icon

22:35 Uhr, 07.10.2021

Komischerweise ist das Ergebnis laut Computer falsch..wüsste nicht, was ich anders machen könnte..falsch gerundet habe ich doch auch nicht:/

ledum aktiv_icon

22:47 Uhr, 07.10.2021

Hallo
was genau bezeichnet ihr als "Wachstumsrate? richtig ist die Funktion

f (t) = f (0) \cdot 1 . 0625^{t},

aber auch

f (t) = f (0) \cdot e^{0.060 t}

und meist wird dies

0,06

als Wachstumsrate bezeichnet? vielleicht hast du mit log gerechnet, die mit

ln

nochmal kurzer Rechenweg wär schöner!
Gruß lul

Roman-22

23:25 Uhr, 07.10.2021

>

und meist wird dies

0,06

als Wachstumsrate bezeichnet
Ja, leider! Und meiner Meinung nach fälschlicher-, zumindest aber irreführenderweise.

Die Wachstumsrate sollte (bei angenommenem exponetiellen Wachstum) nur das

p

in der Darstellung

N (t) := N_{0} \cdot {(1 + p)}^{\frac{t}{T}}

sein, wobei

T

die betrachtete Zeitperiode ist (hier

T = 1 h)

.

Dass man oft auch das

r

in der Darstellung

N (t) := N_{0} \cdot e^{r \cdot \frac{t}{T}}

ebenfalls als Wachstumsrate bezeichnet rührt daher, dass dieses

r = ln (1 + p)

für kleinere Wachstumsraten

p

eine gute Näherung für die tatsächliche Wachstumsrate

p

darstellt.

Vermutlich ist das auch in der vorliegenden Aufgabe so zu interpretieren, sodass als Lösung

\frac{1}{29} \cdot ln (\frac{679}{117}) \approx 6,064 %

gesucht ist.

Helpiii aktiv_icon

23:53 Uhr, 07.10.2021

Ohh daran hatte ich gar nicht gedacht..aber du hast Recht, laut dem Computer ist das Ergebnis

6,06

richtig. Danke für die hilfreichen und schnellen Antworten:-)

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03:06 Uhr, 08.10.2021

" Die Wachstumsrate ist dabei konstant."

konstant bedeutet in solchen Kontexten stetig=kontinuierlich

\to

e-Fkt. verwenden

f (t) = e^{i \cdot t}, i

=Zinssatz

\to e^{i} =

Wachstumsfaktor

Das Wörtchen "konstant" macht das Kraut fett.
Leider wird der Begriff nicht einheitlich verwendet.
Auch in der Mathematik herrscht keine absolute begriffliche Eindeutigkeit.

Da die Bakterien ununterbrochen wachsen, kann man dies als Hinweis auf die elevante
Funktion betrachten. Die Bakterien nehmen nicht am Ende einer Stunde zu auf einen Schlag zu, sondern kontinuierlich = konstant= stetig.

Roman-22

04:18 Uhr, 08.10.2021

>

→ e-Fkt. verwenden
NEIN!!!!! Das folgt keineswegs! Konstante Wachstumsrate bedeutet nur, dass mit exponentiellem Wachstum modelliert werden soll, aber nicht, dass man zwingend als Basis die Eulersche Zahl verwenden muss!
Das ist doch unsinnig und wohl aus dem Schulbereich kommend, krampfhaft jeden Wachstums- oder Zerfallsprozess auf eine Funktionsgleichung der Form

y (x) = a \cdot e^{λ \cdot x}

bringen zu wollen/müssen.

Selbst bei Aufgaben, bei denen in der Angabe steht, dass sich alle drei Stunden etwas verdoppelt, habe ich hier im Forum schon Ansätze mit

N (3) = N_{0} \cdot e^{3 λ} = 2 \cdot N_{0} \Rightarrow λ = . .

. gesehen, anstatt dass man gleich

N (t) = N_{0} \cdot 2^{\frac{t}{3 h}}

hinschreibt. Das ist doch wirklich krank! Von der Unsitte, keine Einheiten zu verwenden einmal ganz zu schweigen.

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05:33 Uhr, 08.10.2021

@Roman:
Ich meine

e^{i \cdot t},

nicht

e^{ln (1 + i) \cdot t}

Bei stetigem Wachstum kommt nur

e^{i \cdot t}

infrage.
Das scheinst du hier zu verwechseln.

e^{0,06 \cdot t}

ist NICHT gleich

e^{ln 1,06 \cdot t}

Ohne Euler geht also in solchen Fällen nix,oder? :-)

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09:13 Uhr, 08.10.2021

Letzt endlich ist egal welche Basis man verwendet. Wenn mam aber die e-Funktion verwendet muss man es auf die Basis (stündliche Wachstumsrate) zurückführen.

P_{1} (t) = P_{0} \cdot e^{k \cdot t}

P_{1} (29) = 117000 \cdot e^{k \cdot 29} = 679000

k = \frac{\ln (\frac{679}{117})}{29} = 0, 06063611 . . .

Somit ist die stündliche Wachstumsrate gleich

e^{0, 06063611} - 1 \approx 6, 25 %

Somit kann man auch die Wachstumsfunktion (approximativ) auch als

P_{2} (t) = 117000 \cdot 1, 062 5^{t}

schreiben.

Man kann also auch von der Gleichung

P_{2} (29) = 117000 \cdot a^{29} = 679000

ausgehen. Und dann den Parameter

a

bestimmen.

Roman-22

10:59 Uhr, 08.10.2021

@supporter

>

e0,06⋅t ist NICHT gleich eln1,06⋅t
hat niemand behauptet

>

Das Wörtchen "konstant" macht das Kraut fett.
Nein, macht es nicht. Würde man nicht von einer konstanten Wachstumsrate ausgehen, könnte man mit den gegebenen Daten eben nur eine durchschnittliche stündliche Wachstumsrate angeben und die errechnet sich genau so.

Ich fürchte aber, dass du nicht verstehst, worum es mir geht. Lies meine letzte Antwort vl noch einmal in Ruhe durch. Wenn ich unterschiedliche Bezeichner wie

p

und

r

verwende, meine ich damit natürlich auch unterschiedliche Größen.
Niemand hat behauptet, dass

0,06

gleich

ln (1,06)

wäre!
Und selbstverständlich geht es immer auch ohne Eulerscher Zahl, wenn es um stetiges Wachstum geht, wie auch pivot gerade angemerkt hat. Du kannst jede Basis verwenden und vernünftigerweise wird man jene verwenden, die sich aufgrund der Angabe rechentechnisch anbietet. Eine Notwendigkeit, zwanghaft

e

zu verwenden, besteht nicht.
Im vorliegenden Beispiel führt eben die Lösung der Gleichung

117 \cdot {(1 + p)}^{29} = 679

direkt auf die stündliche Wachstumsrate

p = 6,25 %

. Es bietet sich also an, im Modellansatz

1 + p

als Basis für die beschreibende Exponentialfunktion zu verwenden und nicht

e

.
Beim Ansatz mit

e

als Basis

117 \cdot e^{29 \cdot r} = 679

müsste man korrekterweise nach Berechnung von

r

erst wieder auf auf

p = e^{r} - 1 \approx 6,25 %

zurückrechnen um die tatsächliche stündliche Wachstumsrate zu bekommen und nicht bloß, wie aber hier vom Aufgabensteller offenbar erwartet, nur dessen Näherung

r \approx 6,06 %

.

@pivot

>

Wenn mam aber die e-Funktion verwendet muss man es auf die Basis (stündliche Wachstumsrate) zurückführen.
Müsste man - auch für dich ist offenbar

0,00625 = 6,25 %

die (stündliche) Wachstumsrate. Das ist auch meiner Meinung nach korrekt, wie oben ausgeführt. Denn die Wachstumsrate ist doch die relative Änderung einer Größe innerhalb eines Zeitraums (einer Periode

T)

und berechnet sich folglich immer mittels

p = W a c h s t u m s f a k t o r - 1 = {(\frac{E n d w e r t}{A n f a n g s w e r t})}^{\frac{1}{n}} - 1,

wobei

n

die Anzahl der Perioden ist.
Allerdings wird vom Aufgabensteller in Helpiiis Aufgabe aber die Näherung

ln (1 + 0,0625) = 0,0606 = 6,06 %

als Antwort erwartet. Wie so oft wird (mMn fälschlicherweise) der Faktor im Exponenten der magischen Euler-Zahl als "Wachstumsrate" bezeichnet.

Für helpiii und andere Fragesteler gilt letztlich aber nur, dass sie, wie von ledum schon angeregt, in ihren Unterlagen nachsehen müssen, wie ihr Dozent den Begriff "Wachstumsrate" definiert hat, um sich dann einfach daran zu halten - unabhängig davon, ob andere, wie ich, diese Definition für richtig oder sinnvoll erachten.

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12:03 Uhr, 08.10.2021

Wieder ein Riesentheater um Banales:

117 \cdot e^{i \cdot 29} = 697

i = 0,06063 . .

= 6,063 %

kontinuierliches Wachstum

ergibt den stündlichen Wachstumsfaktor

e^{i} = 1,0625

Roman-22

12:15 Uhr, 08.10.2021

>

Wieder ein Riesentheater um Banales
Dann solltes du nicht länger auf deinem

e

als Basis bestehen ;-)
Es ist ja erstaunlich, dass du offenbar nicht begreifen kannst oder willst, dass deine Aussage "Bei stetigem Wachstum kommt nur $e^{i \cdot t}$ infrage." schlicht falsch war und dass die Darstellung mittels der Eulerschen Zahl als Basis zwar möglich, aber nicht unbedingt die zweckmäßigste ist.
Abgesehen davon geht es um den Begriff "Wachtumsrate" und nicht "Wachstumsfaktor" und der Aufgabenersteller folgt leider offenbar nicht der üblichen Definition

W a c h s t u m s r a t e = W a c h s t u m s f a k t o r - 1

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12:30 Uhr, 08.10.2021

Ich korrigiere:
Bei stetigem Wachstum nimmt man gewöhnlich

e^{i \cdot x} . .

. , außer man ist man Exot.
Der nimmt auch

\sqrt{π}

als Basis.:-)

PS:

e^{i \cdot x}

lässt sich auch schön integrieren.

De gustibus

. .

Roman-22

12:39 Uhr, 08.10.2021

>

Bei stetigem Wachstum nimmt man gewöhnlich ei⋅x... , außer man ist man Exot.
Das müsstest du jetzt definieren, was du unter "gewöhnlich" verstehen möchtest.
Schlau ist es jedenfalls nicht und praxisüblich auch nicht und integrieren will das Ding in dieser Aufgabe ja ohnedies niemand.
Diese nahezu krankhafte Fixierung auf

e

als Basis stammt vermutlich aus dem Schulbereich, wo man damit unbegabteren Schülern ein "Kochrezept" anbietet, an das sie sich klammern können, ohne viel nachdenken zu müssen. Als solches hat es auch durchaus seine Berechtigung.
Ich hoffe aber, dass in unserem Schulsystem die Schüler, die situationsbezogen flexibel eine überlegte und schlauere Wahl für die Basis treffen, nicht wirklich Exoten sind und dass unsere Lehrer gerade diesen Schülern auch noch etwas mehr zu bieten haben als ein starres Kochrezept. Man darf ja noch träumen

. .

.
Der schlaue Schüler nimmt ja auch nicht deinen Vorschlag

\sqrt{π}

als Basis, sondern jene, die ihm auf Basis von Angabegrößen und gesuchtem Wert den schnellsten und einfachsten Rechenweg verspricht - und das ist eben meist nicht die Eulerzahl.

Helpiii aktiv_icon

23:24 Uhr, 08.10.2021

Dankee nochmals für die ganzen hilfreichen Antworten!! Verstehe das Ganze jetzt schon etwas besser:-)

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05:42 Uhr, 09.10.2021

"Der schlaue Schüler nimmt ja auch nicht deinen Vorschlag π als Basis, sondern jene, die ihm auf Basis von Angabegrößen und gesuchtem Wert den schnellsten und einfachsten Rechenweg verspricht - und das ist eben meist nicht die Eulerzahl."

Der Schüler nimmt die Basis, die er auf seinem TR vorfindet.
Das ist gewöhnlich

e

oder

10

bzw.

l n

und

{log}_{10}

. Was denn sonst?

In der Naturwissenschaft ist

e

zudem von fundamentaler Bedeutung.
Warum wird heute in den Schulen soviel und oft ausdrücklich Wert auf das Rechnen mit der Basis

e

gelegt statt mit anderen Basen?
Das belegen die unzähligen Aufgaben in den Foren.

"und das ist eben meist nicht die Eulerzahl."
Das bestreite ich vehement und behaupte das Gegenteil.
Wie kommst du zu dieser falschen Behauptung?
Du scheinst wenig Bezug zum Schulalltag zu haben oder bist du Lehrer?

PS:
In welchem Rahmen betreibst du eigentlich Mathematik außerhalb des Forums?
Ich würde gerne wissen, über welche Qualifikation genau du verfügst?

N8eule

09:08 Uhr, 09.10.2021

...was für ein seitenlanges Gezetere um Kaisers Bart...

Das beste Vorgehen ist doch das, dem Schüler und Gesprächspartner die Basis zu lassen, die er zuerst in Gedanken fasst und am ergonomisch Sinn-leichtesten fällt,

und den Schülern nahe zu legen, bei zu bringen, leicht fallen zu lassen und Übersicht zu schaffen, von der einen Basis auf die andere Basis umzurechnen.

In dem Maße, in dem die Vorredner sich auf nur eine Basis versteifen und abfällig über das Vorgehen eines anderen äußern, äußern sie ihre Voreingenommenheit und Schwäche, Überblick zu geben, dass doch eine Basis-Wahl und Umrechnung nur eine Kleinigkeit ist, die es zu üben, zu lernen und leicht zu fallen gilt,
ebenso, wie es nun mal auf dieser Welt
Meter und Zoll
Grad Celsisus und Fahrenheit
Euro und Yen
Grad, rad und gon
und vieles mehr gibt.

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