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Normaleneinheitsvektor bestimmen
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Analytische Geometrie, Ebene
 
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anonymous 19:42 Uhr, 06.09.2007  |
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Hallo, wie bestimmt man den Normaleneinheitsvektor z.B. von der Ebene E: x1+x2+x3=0? Ich hab es aus meiner Formelsammlung nicht verstanden. Grüße |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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Hallo logix, wenn Du eine Ebene in Koordinatenform gegeben hast, geben die Koeffizienten die Komponenten des Normalenvektors an. Für Dein Beispiel, x1+x2+x3=0, wäre der Normalenvektor (1/1/1). Der Normaleneinheitsvektor zeichnet sich zusätzlich dadurch aus, dass seine Länge (Euklidische Norm) 1 ist. Das erreicht man dadurch, dass man den Normalenvektor durch seine Euklidische Norm dividiert. //(1/1/1)//=sqrt(1²+1²+1²)=sqrt(3) Der Normaleneinheitsvektor ist dann (1/1/1)/sqrt(3). Gruß, robbie |
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anonymous 00:03 Uhr, 07.09.2007 |
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Der Normaleneinheitsvektor zeichnet sich zusätzlich dadurch aus, dass seine Länge (Euklidische Norm) 1 ist. Das erreicht man dadurch, dass man den Normalenvektor durch seine Euklidische Norm dividiert. //(1/1/1)//=sqrt(1²+1²+1²)=sqrt(3) Der Normaleneinheitsvektor ist dann (1/1/1)/sqrt(3). Hallo Robert, danke für die Antwort. 1) Wird die "Euklidische Norm" eines Vektors auch als Betrag des Vektors bezeichnet? Dann weiß ich ungefähr was gemeint ist. :) 2) Allerdings ist mir neu, wie ich einen Vektor durch eine reelle Zahl dividieren kann. Dividiert man, indem man jede Komponente des Vektors durch die Zahl teilt? 3) Wie bestimmt man den Normaleneinheitsvektor einer Geraden? Z.B. von g: x = (1|2|3) + a (4|5|6). Dividiert man den Richtungsvektor (4|5|6) durch seinen Betrag? Also (4|5|6) / sqrt (4^2 + 5^2 + 6^2)? Oder ist der Normaleneinheitsvektor einer Geraden orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden? Oder besitzen Geraden keinen Normaleneinheitsvektor? |
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Hallo logix, (1) Du hast völlig recht, die Euklidische Norm wird auch als Betrag bezeichnet (Wurzel aus der Summe der quadrierten Komponenten :sqrt(x²+y²+z²). (2)Auch da hast Du die richtige Idee: man dividiert jede Vektorkomponenten durch die Zahl. Ich hab die Division nicht explizit hingeschrieben, da das mit der Schreibweise ein wenig unübersichtlich geworden wäre. Der formeleditor läuft auf meiner "Mühle" nicht richtig :( (3) Auch Geraden besitzen einen Normalenvektor. Als Normalenvektor bezeichnet man ja jeden Vektor, der auf einem anderen Vektor senkrecht steht, soll heißen: der Normalenvektor einer Ebenen steht jeweils senkrecht auf den beiden Spannvektoren, der Normalenvektor einer Geraden steht senkrecht auf dem Richtungsvektor. Den Normaleneinheitsvektor Deiner Geraden g: x = (1|2|3) + a (4|5|6) erhälst Du so: zunächst bestimmst Du den Normalenvektor (n1;n2;n3), der senkrecht auf dem Richtungsvektor steht und entsprechend die Gleichung (4/5/6)*(n1/n2/n3)=0 erfüllt. 4n1+5n2+6n3=0 n1= -(5/4)*n2 - (3/2)*n3 Da es ja unendlich viele linear abhängige Normalenvektoren gibt, kannst Du die beiden Komponenten n2 und n3 beliebig wählen und dann n1 berechnen. Zum Beispiel: n2:=4 n3:=2 => n1=-5-3=-8 Ein Normalenvektor der Geraden ist also (-8/4/2), da (-8/4/2)*(4/5/6)=0 (Skalarprodukt). Den Normalenvektor normierst Du nun zum Normaleneinheitsvektor, indem Du durch seinen Betrag dividierst : //(-8/4/2)=sqrt [(-8)²+4²+2²]=sqrt(84) Der Normaleneinheitsvektor lautet dann: (-8/sqrt(84); 4/sqrt(84); 2/sqrt(84) ) Ich hoffe, das beantwortet alle Deine Fragen. Gruß Robert |
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anonymous 12:52 Uhr, 07.09.2007 |
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| Hallo Robert, vielen Dank für die ausführliche Antwort (vor allem unter Punkt 3). Ja, meine Fragen wären damit alle geklärt. Viele Grüße |
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