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Normaleneinheitsvektor einer Ebene berechnen?

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, berechnen, eben, Gerade, Normaleneinheitsvektor

Gwynnie aktiv_icon

12:27 Uhr, 11.01.2010

Hallo! Ich habe hier folgende Aufgabe:
Gegeben ist die Ebene

E 1

durch

- 2 x + y + α \cdot z = 1

und die Gerade

g

durch

\vec{g} (t) = \vec{a} \cdot t \cdot \vec{u}

mit

\vec{a} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und

\vec{u} = (\begin{matrix} 3 \\ α \\ 1 \end{matrix})

.
Ich soll nun den Normaleneinheitsvektor berechnen, weiß aber grade nicht, wie ich da rangehen soll. Würde mich sehr freuen, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

funke_61 aktiv_icon

12:30 Uhr, 11.01.2010

Hallo,

Kannst Du den Normalvektor aus der Normalform rauslesen? Dann schreib ihn bitte mal an.

Gwynnie aktiv_icon

12:34 Uhr, 11.01.2010

Ich soll ihn ja berechnen. Und da stört mich das

α

irgendwie. Deswegen find ich nicht den richtigen Ansatz.

Gwynnie aktiv_icon

12:35 Uhr, 11.01.2010

achso. den Normalvektor. Der ist dann doch

- 2, 1, 1,

oder?

funke_61 aktiv_icon

12:36 Uhr, 11.01.2010

na zieh das a einfach mit!

Gwynnie aktiv_icon

12:36 Uhr, 11.01.2010

also

- 2, 1, α

funke_61 aktiv_icon

12:38 Uhr, 11.01.2010

genau.

\vec{n} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ a \end{matrix})

schon mal "hessesche Normalform" (Hesse-Normalenform) gehört?

Gwynnie aktiv_icon

12:41 Uhr, 11.01.2010

Naja.. Gehört auf jeden Fall... irgendwo ganz weit hinten klingelt da was... ;-)
Okay okay. Was mach ich denn nun mit dem Normalenvektor, wenn ich den Normaleneinheitsvektor haben will?
Danke shcon mal fürs "Brett vorm Kopf wegnehmen".

funke_61 aktiv_icon

12:43 Uhr, 11.01.2010

bilde den Betrag von

\vec{n} = | \vec{n} | = \sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}

dann teile

\vec{n}

durch diesen Betrag.
dann hast Du

{\vec{n}}_{0}

. Dieser "Normaleneinheitsvektor" hat die Länge "1" und ist deshalb sehr "nützlich".

Gwynnie aktiv_icon

12:48 Uhr, 11.01.2010

Hm okay. also

| \vec{n} | = \sqrt{- 2^{2} + 1^{2} + α^{2}}

wobei mich das

α

schon wieder stört.

funke_61 aktiv_icon

12:50 Uhr, 11.01.2010

Die Aufgabe geht ja auch irgendwie weiter. Du erhältst natürlich auf diesem Weg irgendwann eine Bestimmungsgleichung für das

a

. Zieh das a einfach weiter mit, es geht nicht anders.

Gwynnie aktiv_icon

12:51 Uhr, 11.01.2010

okay. Dann hab ich im Prinzip schon mal verstanden, was ich da machen muss. Nur bin ich nicht so das Ass im umformen /umdenken fürchte ich. Aber ich versuche mich mal weiter an der Aufgabe. Vielen Dank schon mal!

funke_61 aktiv_icon

13:00 Uhr, 11.01.2010

Vorsicht beim Quadrieren:

{(- 2)}^{2}

ist

+ 4!

Du hast das ein wenig "gefährlich" geschrieben.
viel Spaß und Erfolg erstmal :-)

Gwynnie aktiv_icon

13:04 Uhr, 11.01.2010

ja danke! das kam mir eben auch schon komisch vor... der flüchtigkeitsfehler sei mit mir ;-) aber immerhin hab ich dank deiner hilfe schon mal wieder

n

kleinen durchblick. es läuft ganz gut :-)

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