Normalenvektor Reflexion Herleitung

Hallo Leute, ich hab folgendes Problem:

gegeben ist das Reflexionsgesetz:${\displaystyle {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2\left({\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ wobei v der einfallende Strahl ist und v_soll der ausfallende. (Alles im ${\displaystyle {\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$

Ich soll nun zeigen, dass folgendes für den Normalenvektor gilt: ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\sqrt{2{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}}$

Als Hilfestellung ist gegeben, dass man zuerst mit ${\displaystyle {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ erweitern soll und dann mit dieser Gleichung ${\displaystyle {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ im Reflexionsgesetz von oben einsetzt.

Mein Problem ist nun: Wie kann ich die Gleichung mit einer Transponierten erweitern, da ja die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist!? Und wie kann ich dann die Gleichung nach n umstellen?

Probiert hab ich schon, dass ich alle Teile der Gleichung "von links" erweitere. Dann wusste ich aber nicht weiter wie ich mit dem Term ${\displaystyle -2{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left({\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ umgehen soll beim umstellen.

Setzte ich alles in das Reflexionsgesetz ein so fällt mein n komplett raus. Siehe Bild

Meine Internetrecherche hat auch nichts ergeben. Ich hoffe hier kann mir jemand helfen.

Danke für Deine Antwort, DrBoogie.

Also das sind Vektoren, das ist klar. Aber warum nehmen die dann in der Aufgabenstellung immer den transponierten Vektor wenn es nur normale Skalarprodukte sind?

Ok, das hab ich verstanden.

Weißt Du wo die Wurzel in der Lösung herkommt? ich steh da echt auf dem Schlauch.

Ich poste mal die original Aufgabenstellungen. ich hoffe du kannst mir helfen.

Danke für den Tip mit der Normierung, der war Gold wert :)

Ich bin schon ziemlich nahe an der Lösung dran, ein kleines Problem habe ich aber noch mit der Aufgabe.

Wenn ich versuche den Vektor zu normieren, dann bekomme ich diesen Term:${\displaystyle \frac{{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\sqrt{{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-{2\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}}$

Wie kann ich denn jetzt noch v_soll und v zusammenfassen, damit ich auf die Formel aus der Aufgabenstellungen komme? Die Annahme ${\displaystyle {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ komt ja nicht in Frage, da sonst der ganze Term zu null werden würde.

Stimmt. Herzlichen Dank für deine Hilfe!!