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Normalenvektor bestimmen ( Mit Vektorprodukt)

Schüler Gymnasium,

Tags: Normalenvektor, Parametergleichung, Vektorprodukt

Chocoholic aktiv_icon

20:43 Uhr, 09.12.2012

Gegeben sind 3 Punkte:

A (0 | 2 | - 1) B (6 | - 5 | 0) C (1 | 0 | 1)

daraus folgt die Parametergleichung:

E : \vec{x} (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 6 \\ - 7 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

Vektorproduktregel:

(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) ⋆ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} & - & a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} & - & a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} & - & a_{2} b_{1} \end{matrix})

Einsetzen:

\vec{n} = (\begin{matrix} - 7 ⋆ 2 & - & 1 ⋆ - 2 \\ 1 ⋆ 1 & - & 6 ⋆ 2 \\ 6 ⋆ - 1 & - & - 7 ⋆ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 14 & + 2 \\ 1 & - 12 \\ - 12 & + 7 \end{matrix})

= (\begin{matrix} - 12 \\ - 11 \\ - 5 \end{matrix})

Mein Lösungsbuch sagt allerdings, dass der Normalenvektor komplett positiv ist. Sprich:

\vec{n} = (\begin{matrix} 12 \\ 11 \\ 5 \end{matrix})

Meine Frage: Habe ich einfach die Vorzeichen durcheinander gebracht, oder steht in dem Buch die Lösung falsch?

Liebe Grüße,

Chocoholic. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Flächeninhalte
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Vektorprodukt
Volumen einer Pyramide

vulpi aktiv_icon

20:55 Uhr, 09.12.2012

Für einer Ebene gibt es ja nicht nur DEN Normalenvektor.
Jedes Vielfache( ohne

0)

eines Normalenvektors steht doch auch senkrecht auf der Ebene.
Also ist

- \vec{n}

genauso tauglich, um die Ebene zu beschreiben.
Natürlich verwendet man dann den mit den positiven Komponenten, das macht doch das
Rechenleben schöner :-)

Du siehst das doch auch an der Normalengleichung

n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{1} = k

Das ganze Ding mit a multipliziert

a n_{1} x_{1} + a n_{2} x_{2} + a n_{3} x_{1} = a k

gibt eine äquivalente Gleichung, ergo die selbe Ebene, aber mit anderem

\vec{n},

der
die gleiche Richtung, aber andere Länge hat.

gruß

Chocoholic aktiv_icon

21:03 Uhr, 09.12.2012

Dankeschön erstmal für deine schnelle und hilfreiche Antwort! :-)

Also hat mein Buch die Vorzeichen einfach umgedreht, damit es schöner aussieht..?!

Aber einen Rechenfehler hast du nicht gefunden?

Lg

mathemaus999

10:45 Uhr, 10.12.2012

Hallo,

wenn du die beiden Vektoren vertauschst, kommst du zu dem Ergebnis aus dem Lösungsbuch.

Grüße

Chocoholic aktiv_icon

11:37 Uhr, 10.12.2012

Oh okay, danke :-)

Eine kurze Frage hätte ich allerdings noch:

Es ist doch egal welchen Vektor ich an den Anfang stelle oder?

Liebe Grüße

funke_61 aktiv_icon

14:34 Uhr, 10.12.2012

Ja, welchen der beiden Normalenvektoren Du zum Aufstellen der Normalengleichung verwendest, ist egal.

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