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Normalverteilung

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Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

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23:05 Uhr, 07.03.2015

Hallo,

Ich schaue mir grad die folgende Aufgabe an,

Es sei

Y

eine standardnormalverteilte ZG. Zeigen sie das

X = σ \cdot Y + μ

mit

σ > 0

normalverteilt mit den Parametern

μ

und

σ^{2}

ist.

Also irgendwie verstehe ich gar nicht, was man da groß zeigen soll...

Also

Y

kann ich ja auch so darstellen

Y = \frac{X - μ}{σ}

aber weiß grad nicht Wirklich was ich machen soll...

Aber vielleicht zeige ich das einfach über den EW und die VAR

Sprich

E (X) = E (σ \cdot Y + μ) = σ \cdot E (Y) + μ = 1 \cdot 0 + μ = μ

Und VAR(X) = VAR

(σ \cdot Y + μ) = σ^{2} \cdot

VAR(Y)

= σ^{2} \cdot 1 = σ^{2}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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08:38 Uhr, 08.03.2015

EW und Var sagen sehr wenig über die Verteilung aus.
Um zu zeigen, dass eine Verteilung eine Normalverteilung ist, musst Du die Dichte dieser Verteilung berechnen oder die Verteilungsfunktion.

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09:14 Uhr, 08.03.2015

Ah ja interessant und wie soll ich eine DF berechnen ohne VF bzw VF ohne DF... Ich hab doch gar nix gegeben außer

X

und

Y - . -

Oder meinst du vielleicht ich soll mir einfach die Dichte von der Normalverteilung nehmen, die mit

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot π \cdot σ^{2}}} \cdot e^{- \frac{(X - μ)}{2 \cdot σ^{2}}}

Und dann damit irgendwas probieren? Herleiten oder was?

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10:12 Uhr, 08.03.2015

Die Dichte von

Y

ist gegeben, denn es steht "

Y

ist standard-normalverteilt",
d.h. die Dichte von

Y

ist

\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} x^{2}}

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10:47 Uhr, 08.03.2015

Achso ja stimmt weil dann ist

μ = 0

und

σ = 1

und dass kann ich ja dann in die DF einsetzen dann komme ich auf deinen Ausdruck... Ja ok ich probiere einfach mal weiter :-)

Ich glaube das ist nicht so schwer...

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14:02 Uhr, 09.03.2015

Hallo,

ich bin wieder da

. .

. also ich hab das jetzt so gemacht:

Y

ist

N (0,1)

verteilt, dann ist

f_{y} (y) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} y^{2}}

Gesucht:

f_{x} (x) =

?

Es gilt

P (Y \leq y) = \int_{- \infty}^{y} f_{y} (\bar{y}) d \bar{y}

Dann ist

P (X \leq x) = P (σ \cdot y + μ \leq x)

= P (Y \leq \frac{x - μ}{σ})

= \int_{- \infty}^{\frac{x - μ}{σ}} \frac{1}{\sqrt{2 \cdot π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {\bar{y}}^{2}} d \bar{y}

dann Substi mit

\bar{y} = \frac{x - μ}{σ}

und

\frac{d \bar{y}}{d \bar{x}} = \frac{1}{σ}

= \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \cdot π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{\bar{x} - μ}{σ})}^{2}} \frac{1}{σ} d \bar{x}

= \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \cdot π \cdot σ^{2}}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{\bar{x} - μ}{σ^{2}})}^{2}} d \bar{x}

also ist

f_{x} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot π \cdot σ^{2}}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ^{2}})}^{2}}

so, was sagst du dazu?

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14:10 Uhr, 09.03.2015

Bis auf einen kleinen Schreibfehler (Substitution muss

\bar{y} = \frac{\bar{x} - μ}{σ}

heißen) richtig.

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14:39 Uhr, 09.03.2015

Ja das hab ich vergessen ;-)

Ok supiii :-)

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