Normalverteilung / Standardnormalverteilung

Hallo Doug90,

ich bin Statistikautodidakt, daher wird die Antwort etwas unwissenschaftlich. Vielleicht hilfts ja trotzdem.

Also:

Die Normalverteilung ist die mathematische Darstellung der Gauß- oder auch Glockenkurve. Diese hat in der Statistik eine besondere Bedeutung erlangt, weil es häufig so ist, dass Daten, Werte oder Merkmale in der Natur so verteilt sind, dass ein Wert am häufigsten vorkommt (=Modus)(=unimodal) und je weiter weg man von diesem Wert kommt, die Werte seltener werden. Wenn der häufigste Wert gleichzeitig auch noch der Mittelwert (${\displaystyle \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ) und der Median ist und die Häufigkeit der Werte in beide Richtungen gleichmäßig (symetrisch) abnimmt, kommt das einer Normalverteilung schon ziemlich nahe. Wie genau sich die Häufigkeit ändert, wird durch die Funktion bestimmt (denn genau genommen träfe das oben beschrieben ja z.B. auf eine Funktion zu, die wie ein gleichschenkliges Dreieck aussieht zu ). Um abzuschätzen wie weit die Werte in beide Richtungen streuen, berechnet man Standardabweichung (${\displaystyle \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ). Das ist die Distanz vom Mittelwert in eine Richtung auf der x-Achse innerhalb derer 34,2% deiner Werte liegen, bzw. 68,4% wenn du in beide Richtungen mißt. Wenn du den Mittelwert und die Standardabweichung kennst, kannst du die Normalverteilungskurve rechnen. Den arith. Mittelwert berechnet man indem man die Summe aller Werte bildet und dann durch die Anzahl der Werte (${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$) teilt.

${\displaystyle \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{\Sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Die Standardabweichung wird berechnet als die Wurzel aus der Summe der quadrierten Abweichungen der einzelnen Werte vom Mittelwert geteilt durch ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}$. Die Quadrierung ist notwendig, weil sich bei perfekter Symetrie die Abweichungen ja gegenseitig aufheben würden.

Und wenn du den Mittelwert ${\displaystyle \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$ und ${\displaystyle \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ setzt hast du eine Standardnormalverteilung.

In Klausuren wirst du vielleicht eine Stichprobe vorgesetzt bekommen, aus der du dann den Mittelwert und die Standardabweichung schätzen musst. Da das ja nur eine Stichprobe und nicht die Gesamtheit aller Werte ist, kannst du die beiden Werte nur noch schätzen und nicht mehr berechnen. Um das zu verdeutlichen ändert sich dann meist auch die Notation, sodass

${\displaystyle \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\overline{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und ${\displaystyle \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist.

Soweit für die Grundlagen. Ich hoffe, das hilft dir.

Grüße

L