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Normalverteilung µ und σ bestimmen

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion

mrk77 aktiv_icon

12:44 Uhr, 21.01.2019

Hallo zusammen,

ich mache gerade ein paar Altklausuren in der Statistik durch und hänge gerade bei folgender Aufgabe:

X

beschreibt einen biologischen Wert von Personen der Bevölkerung und ist normalverteilt. Gegeben sind außerdem folgende Wahrscheinlichkeiten:

P (X \leq 70) = 0.5

und

P (X \geq 60) = 0.7

Besitmmen sie die Variablen µ und σ²

- - - - - -

Da ich zwei Unbekannte habe, brauche ich zwei Gleichungen um auf ein Ergebnis zu kommen. Soweit so gut.

Ich habe dann

φ ((70 -

µ)/σ)

= 0.5

und

((60 -

µ)/σ)

= 0.7

als zwei Gleichungen. Um µ und σ zu bestimmen muss ich ja irgendwie

φ

auflösen? Nur wie mache ich das?

Besten Dank im Voraus

anonymous

12:53 Uhr, 21.01.2019

Hallo
Am besten nicht so verklausuliert Formeln klopfen, sondern mal ganz entspannt mitdenken.

Wenn

p (x < 70) = 0.5

Wie groß ist dann

p (x > 70)

?

Und jetzt stell dir die Gauss Glockenkurve mal geistig vor, oder skziziere sie symmetrisch auf Papier...

mrk77 aktiv_icon

12:57 Uhr, 21.01.2019

P (X > 70)

ist auch

0.5

Aber wie ich dadurch µ und σ bestimmen soll verstehe ich nicht.

anonymous

13:19 Uhr, 21.01.2019

Deswegen ist es gut, eine Skizze vor Augen zu haben...

Mach dir klar:

0.5 = 50 %

Man sagt selbst im Deutschen "Fifty / Fifty"...

mrk77 aktiv_icon

14:17 Uhr, 21.01.2019

Ich weiss wie die Gaussglocke aussieht ( de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung#/media/File:Normal_Distribution_PDF.svg )

Aber wie soll ich jetzt konkret µ und σ bestimmen?

anonymous

14:27 Uhr, 21.01.2019

Du schreibst:

P (X \leq 70) = 0.5

In Worten: Die Hälfte aller biologischen Werte liegt...
ja liegt wo? Führe den Satz mal zu Ende!

Mach dir mal anhand deiner Normalverteilungs-Glockenkurve klar, was diese "Hälfte" bedeutet.
Wo würdest du das einzeichnen?

Stichworte:
Halbe - Halbe
Fifty - Fifty
Symmetrie
ausgewogen
links wie rechts

. .

MrBrown90 aktiv_icon

16:51 Uhr, 21.01.2019

Ich denke die Kurve würde so wie auf dem Bild aussehen oder?

MrBrown90 aktiv_icon

16:52 Uhr, 21.01.2019

und wenn ich dann nochmal weiter überlege. Wäre die Varianz dann bei

35

anonymous

16:58 Uhr, 21.01.2019

In Worten:
Die Hälfte aller biologischen Werte liegt unterhalb des Werts

x = 70

.
Folglich muss der Mittelwert
my=

70

betragen.
Ich hoffe, das hast du erkannt, und das wolltest du mit deiner Skizze ausdrücken.

Du siehst, einfach ein wenig klar machen, schon sieht man, dass man für den Mittelwert nur Verständnis zeigen, und keinerlei Rechnerei machen musste.

Die Varianz habe ich noch nicht nachgerechnet.
Das kann schon sein,
- aber was hast du dir dabei gedacht?
Kannst du das auch mal in deine Skizze eintragen?
Das hielte ich für den augenfälligsten Ansatz...

MrBrown90 aktiv_icon

17:08 Uhr, 21.01.2019

ja genau, das

50 %

unter

70

liegen wollte ich damit ausdrücken.

Mit der Varianz wird wohl nicht stimmen, war nur ein kurzer Gedanke. Aber wie rechne ich die aus mit dem was ich habe?

anonymous

17:51 Uhr, 21.01.2019

Mach dir anhand der Skizze optisch, skizzenhaft, anschaulich, verständlich klar, was

p (x > 60) = 0.7

bedeutet.

MrBrown90 aktiv_icon

08:04 Uhr, 22.01.2019

das

70 %

älter als

60

sind. Ich versteh aber nicht, wie ich dadurch die Rechnung aufbauen soll

anonymous

10:44 Uhr, 22.01.2019

P (X \leq 60) = 0, 3

NV:

\int_{- \infty}^{c} = 0, 3

Tafel NV: c=-0,5244; damit:

-0,5244 =

\frac{60 - 70}{σ}

führt auf

σ = 19, 07

MrBrown90 aktiv_icon

12:59 Uhr, 22.01.2019

Also ich hab jetzt nochmal eine skizze gezeichnet.

Wenn die

P (X \leq 0,7) = 0,5

heißt das ja, die hälfte liegt unter

0,7

die andere Hälfte darüber, heißt bei

0.7

ist der höchste Punkt, was wiederum heißt...0,7 ist der Erwartungswert.

Dies heißt für die Formel:

φ (\frac{70 - 70}{σ}) = 0,5

Für

(x \geq 60)

heißt das

: 1 - φ (\frac{60 - 70}{σ}) = 0,7

Ist das so der richtige Weg?

Zum Verständnis für die Skizze, das rot eingefärbte ist alles was

< 70,

grün alles was

> 60

anonymous

14:14 Uhr, 22.01.2019

Ich ahne, du meinst ungefähr das Richtige. Du drückst dich aber öfters ein wenig unklar aus.

Lass mich mal in meine Worte fassen:

a)

Die gesamte Fläche unter der Gauss-Glockenkurve steht für alle Exempel, du sprichst mal von einem "biologischen Wert", mal erwähnst du ein "Alter", ich weiß ja nicht, was du unter "x" zu verstehen gibt.
Aber, die Gesamtfläche steht

>

für alle,

>

für

100 %

>

für

p = 1

b)

p (x < 70) = 0.5

In Worten: Die Hälfte aller Exempel haben einen "biologischen Wert" unterhalb von

70

.
Das ist die Fläche,

>

die du zuletzt rot hervorgehoben hast,

>

für

50 %

aller "Personen" steht,

>

für

p = 0.5

c)

p (x > 70) = 0.5

In Worten: Die Hälfte aller Exempel haben einen "biologischen Wert" über

70

.
Das ist die Fläche,

>

die rechts der senkrechten

x = 0

-Achse (Mittelwert) unter der Glockenkurve zu suchen ist,

>

für die restlichen

50 %

aller "Personen" steht,

>

für

p = 0.5

d)

p (x > 60) = 0.7

In Worten: Ein Anteil von

0.7

aller Exempel haben einen "biologischen Wert" über

60

.
Das ist die Fläche,

>

die du zuletzt grün hervorgehoben hast,

>

die rechts der

x = 60

-Grenze liegt,

>

für

70 %

aller "Personen" steht,

>

für

p = 0.7

Du nutzt irgendeine phi-Funktion.
Mach dir bewusst, jedes Schulbuch, jede Schule, jeder Lehrer, jedes Tabellenwerk, jeder Taschenrechner benutzt andere Bezeichner. Ich weiß nicht, wie ihr die "phi-Funktion" definiert habt.
Ich ahne prinzipiell ungefähr, was du meinst. Aber ohne Vereinbarung, was du unter "phi-Funktion" verstehst, kann ich nicht bestätigen, korrigieren, besser-wissen oder zweifelsfrei unterstützen.

anonymous

14:19 Uhr, 22.01.2019

Um weiter zu kommen:

e)

Für welchen Anteil an Exempel ("Personen") steht die Fläche zwischen den Grenzen

x = 60

und

x = 70

f)

Wie breit ist die eben beschriebene Fläche?

Δ x = . .

g)

Deine "phi-Funktion" gibt doch - ich ahne - einen Zusammenhang zwischen dieser Breite und der Wahrscheinlichkeit wieder.!
Also

. .

MrBrown90 aktiv_icon

15:49 Uhr, 23.01.2019

Mir ist klar das ich eine Fläche berechne und anstatt mit dem Integral berechne ich das über ein bestimmtes

φ

..und das

φ

setzt sich aus der oben genannten Formel zusammen. Mit dem Wert von

φ

benutze ich eine Tabelle der Normalverteilung.

Ich werde es mit deiner Hilfestellung so leider nicht schaffen, aber danke trotzdem

anonymous

21:02 Uhr, 23.01.2019

Hallo nochmals.
Hättest du nicht einfach mal versuchen wollen, meine Fragen zu beantworten.
Ich bin überzeugt, die Fragen sind nicht schwer. Eine eher erschreckend einfach.
Die Fragen führen dich doch schon heran...

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