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Normalverteilung wert zu klein für Tabelle

Universität / Fachhochschule

Tags: Normalverteilung, Tabelle

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14:00 Uhr, 04.09.2016

Hallo zusammen,

ich habe ein großes Problem mit einem Beispiel aus meinem Buch.
Es geht um die Normalverteilung.

Bei der Frage gehts es um eine Abfüllmasse eines Stoffes. Dieser ist normalverteilt mit sigma = 0,1g. Es gibt ein vorgegebenes Höchstmass von 10,4g.
Die frage ist nun wie groß µ höchstens sein darf, damit ein Überschreitungsanteil von 1% nicht überschritten wird?

Das ist die Standartisierungsformel für die Normalverteilung:

G (\frac{x - u}{σ})

Als nächstes stelle ich die Formel nach sigma um:

u = G * σ + x

Nun muss ich für 1% also 0,01 den passenden Wert aus der Tabelle suchen.
Leider geht die Tabelle nur bis 0,5000.

Ich weiß nicht wie ich auf meinen passenden Wert komme??

Ich bitte euch um Hilfe.

Hinweis: u = µ!

Roman-22

15:56 Uhr, 04.09.2016

>

Das ist die Standartisierungsformel für die Normalverteilung:
Standar d

!!

Und was du angibst ist keine Formel, nur ein Term und im Nachfolgenden verwendest du dann die Bezeichnung

G,

die erst eine Funktion bezeichnet hat, offenbar als Variable - das geht gar nicht.

>

Leider geht die Tabelle nur bis

0,5000

.
Das ist bei den meisten Tabellen zur standardisierten NV so und ich bin mir ziemlich sicher, dass ihr gelernt habt, wie man die Wahrscheinlichkeiten für negative "z"-Werte trotzdem aus der Tabelle rauskitzelt.
Die meisten Tabellen geben ja auch einen Hinweis in der Art "Anmerkung: Negative Werte werden aus Gründen der Symmetrie nicht angegeben, weil $Φ ($ − $z) = 1$ − $Φ (z)$ ist."
Soll heißen: Schlag bei

99 % = 0,99

nach und male ein Minus davor.

Alternativ kannst du natürlich auch eine Tabelle verwenden, in der auch Wahrscheinlichkeiten unter

50 %

angeführt sind, wie zB

\to

eswf.uni-koeln.de/glossar/zvert.htm

Genauer lässt sich der Wert

- 2.326347874

dann nur einer speziellen Quantilen-Tabelle entnehmen oder mit elektronischer Hilfe errechnen.

R

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18:27 Uhr, 04.09.2016

Erstmals Danke für die Hilfe!

Ich habe das genauso aufgeschrieben wie es im Buch auch gemacht wird. Dort wird auch alles mit G, x usw. angegeben.

Ich habe noch so ein Beispiel, wo aber der Überschreitungsanteil von 2% nicht überschritten werden darf.

Da die 2% also 0,02 wieder nicht in der Tabelle zu finden sind, habe ich nach den 98% also 0,98 gesucht das ist der Wert: 2,06 und dann habe ich diesen negativ gemacht also: -2,06.

Das Ergebnis stimmt bis auf das, dass es negativ ist.
Bei mir kommt -0,073 raus es sollte aber 0,073 rauskommen??

Roman-22

18:47 Uhr, 04.09.2016

Nun, richtig ist in jedem Fall, dass

Φ (- 2.0537) \approx 2 %

ist.
Du kannst dafür auch eine Quantilen-Taballe wie zB www.stochastik.uni-freiburg.de/lehre/SS-2016/VorStochInfoSS2016/phi-normalverteilung-werte.pdf benutzen, um genauere Werte zu erhalten.
Was den Rest anlangt, so kann ich, ohne die genaue Aufgabenstellung zu kennen, nichts weiter dazu sagen.

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19:40 Uhr, 04.09.2016

Die Frage lautet:

Es geht um eine Dosiermenge mit einem oberen Grenzwert von 25,15g.
Die Dosiermenge ist normalverteilt mit µ = 20,00g und sigma = 0,05g

Wie groß darf sigma höchstens sein, wenn der Überscgreitungsanteil 2% nicht übersteigen darf?

Noch eine Frage, wie würdest du die berechnung in meinen ersten Beitrag aufschreiben?
Wie gesagt so wie ich sie aufgeschrieben habe ist sie auch in meinem mathe Buch.
Somit stimmt diese sicherlich.

MfG

Roman-22

20:29 Uhr, 04.09.2016

Was stört war, dass du anfangs keine Gleichung angegeben hast und dann

G

offenbar für für zwei unterschiedliche Dinge verwendet hast.
Ob du für die Standard-NV die übliche Bezeichnung

Φ

verwendest oder

G

ist im Grunde egal.

Aber aus

G (b l a b l a) \leq p

(dabei ist

p

eben eine kumulative Wahrscheinlichkeit)

folgt

b l a b l a \leq G^{- 1} (p)

oder üblicher ist

b l a b l a \leq z_{p}

Du hast, wenn ich das richtig sehe, anstelle von

z_{P}

wieder

G

geschrieben und das ist falsch, wenn

G

vorher der Name der Dichtefunktion war.

In deinem neuen Beispiel benötigst du doch gar nicht den Wert

2 %

in der Tabelle und die Angabe von

σ

ist sinnlos, denn

σ

soll ja berechnet werden. Außerdem hast du den Wert

25,15 g

höchstwahrscheinlich falsch angegeben - das sollte wohl nur

20,15 g

lauten!
Der Überschreitungsanteil soll

2 %

nicht übersteigen, also muss gelten

1 - Φ (\frac{20,15 g - 20 g}{σ}) \leq 0,02

Φ (\frac{20,15 g - 20 g}{σ}) \geq 0,98

\frac{20,15 g - 20 g}{σ} \geq z_{0,98}

\frac{0,15 g}{σ} \geq 2,05375

\frac{0,15 g}{2,05375} \geq σ

σ \leq \frac{0,15 g}{2,05375} \approx 0,07304 g

Alternativ könntest du natürlich auch so ansetzen:

Φ (\frac{19,85 g - 20 g}{σ}) \leq 0,2

\frac{19,85 g - 20 g}{σ} \leq - 2,05375

etc.

Denn der Anteil über

μ + 0,15 (= 20,15)

ist gleich dem Anteil unter

μ - 0,15 (= 19,85)

R

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17:08 Uhr, 05.09.2016

Ich versuche jetzt schon einige Zeit nachzuvollziehen, was du da gerechnet hast.
Doch leider leuchtet mir das einfach nicht ein.

Ich habe das zuerst so Verstanden. Wenn ich in der Angabe des Beispiels G mit einem Prozentwert angegeben habe wie z.B. 1% also 0,01 und diesen Wert nicht in der Tabelle finde, dann mache ich folgendes: 1-0,01 = 0,99.
Das heißt ich suche in der Tabelle nach den restlichen 0,99 die ich ja auch finde.
Bei 0,99 kommt 2,33 heraus, jetzt muss ich das ganze noch negativ machen also bekomme ich: -2,33 heraus. Mit diesem Wert kann ich nun das Beispiel berechnen.

Ich dachte ich mache das immer so egal ob 1% oder 2% oder 0,5% in der Angabe steht.
Das heißt ich nehme immer den rest von dem prozentwert, suche diesen in der Tabelle heraus und mache ihn negativ.

In dem Beispiel, was du mir gerade vorgerechnet hast, muss ich von den 20,15 (übrigens es sind 20,15, war mein Fehler)erstmals was abziehen und dann kann ich mit -2,06 rechnen. Sonst muss ich mit 2,06 rechnen, da sonst ein negatives ergebniss rauskommt.
Wie weiß ich wann ich das so machen muss??
Das leuchtet mir nicht ein?

MfG und danke für die Hilfe!

Roman-22

18:21 Uhr, 05.09.2016

>

Ich dachte ich mache das immer so egal ob

1 %

oder

2 %

oder

0,5 %

in der Angabe steht.
Kommt wohl immer darauf an, was diese Prozentwerte bedeuten sollen.

Du hast bisher bei keiner der Aufgaben deinen kompletten Rechengang angegeben und anfangs nur gefragt, wie man die Quantile zu

0,1 %

aus deiner Tabelle ablesen kann. Das hab ich dir erläutert.
Ich würde auch dein erstes Beispiel nicht mit dem Wert

0,1 %

rechnen.
Die Phi-Funktion (oder bie dir eben G-Funktion) liefert immer die kumulativen Wahrscheinlichkeiten bis zu einem Wert X. Also die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße

x

kleiner als dieser Wert

x

ist. Daher ist es vernünftig, auch die Fragestellungen auf diese Sichtweise abzustellen.
In deiner ersten Aufgabe würde ich daher ebenso aus der Forderung, dass höchsten

1 %

ÜBER dem Wert

10,4 g

liegen sollen, folgern, dass mindestens

99 %

UNTER

10,4 g

liegen dürfen.
Daher ist

G (\frac{10,4 g - μ}{0,1 g}) \geq 0,99

und nach einem Blick in die Tabelle (Quantile zu

99 %_{>} z_{0,99})

ergibst sich dann

\frac{10,4 g - μ}{0,1 g} \geq 2,32635 .

. und daraus lässt sich dann leicht

μ \leq ...

. berechnen.

>

Wie weiß ich wann ich das so machen muss??
Im Grunde machst du immer da gleiche. Am besten stellst du dir die ganze Sache mit den Flächen unter der Gaußschen Glockenkurve vor. Da ergeben sich viele Regeln und Abkürzungen und alternative Rechenansätze ganz von selbst.
Mal dir doch zB für die zweite Aufgabe die Gaußkurve hin.
Bild1

Hier ist der Bereich (über

20,15 g)

markiert, der nicht größer als

2 %

sein darf.
Mein erster Ansatz war, dass der in der folgenden Zeichnung markierte Bereich daher mindestens

98 %

sein muss.
Bild2

Das ist der günstigste Ansatz, da dir die G-Funktion immer nur den Bereich links neben einem Wert liefert. Für den Bereich rechts müsste man eben die Ergänzung auf 1 nehmen. Also

1 - G (...) \leq 0,02 \Rightarrow - G (...) \leq - 0,98 \Rightarrow G (...) \geq 0,98

und damit sind wir eben genau bei meinem Ansatz.

Aber nur um eben die von dir ins Spiel gebrachte Quantile

z_{0,02}

auch zu verwenden, habe ich dann den alternativen Ansatz erwähnt, der davon ausgeht, dass die in der nachfolgenden Zeichnung markierte Fläche ebenfalls höchstens

2 %

sein darf - sie ist ja wegen der Symmetrie der Glockenkurven bzgl des Mittelwerts

μ

gleich groß wie jene in der ersten Figur.
Bild3

Ich würde diesen Ansatz aber keinesfalls favorisieren.

R

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19:39 Uhr, 07.09.2016

O.K.

ich werde das am Wochenende mal so machen wie du mir das gezeigt hast.
So sollte es auch bei den anderen Beispielen funktionieren.

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19:22 Uhr, 10.09.2016

Ich habe mir deine vorgehensweise die du in deinem letzten Beitrag geschrieben hast mal genauer angesehen.

Wenn ich das erste Beispiel rechne vom Themenstart (das mit

10,4 & 1 %,

µ ist gesucht), dann rechne ich mit

0,99

also

99 %

und nicht mit den

1 %

. So hast du das mit der Glockenkurve gezeigt.

Da kommt dann in der Tabelle für

0,99

ca.

2,33

heraus.
Wenn ich nun die berechnung nach µ umstelle und mit

2,33

rechne, dann kommt als ergebnis:

10,63

.
Wenn ich mit

- 2,33

rechne, dann kommt:

10,17

heraus.
Laut dem Lösungsbuch ist

10,17

die richtige Lösung.

Wenn ich das so mache wie du mir das mit der Glockenkurve in deinen letzten Beitrag gezeigt hast, dann stimmt das ergebnis aber nicht, obwohl das beispiel fast gleich ist wie das beispiel mit den

20,15 g

und den

2 %

.

Dort kommt nach deiner berechnung für

98 %

auch ein positiver Wert heraus und dort stimmt das ergebnis. Aber fürs erste Beispiel muss der Wert aus der Tabelle negativ sein also:

- 2,33

?

Das ist das Problem, was ich habe.
Ich weiß nicht wann ein Minus vor dem Wert aus der Tabelle stehen muss und wann nicht?
Das kann ich aus der Glockenkurve auch nicht herauslesen.

MfG

Roman-22

19:59 Uhr, 10.09.2016

>

Wenn ich nun die berechnung nach µ umstelle und mit

2,33

rechne, dann kommt als ergebnis:

10,63

.
Das kommt doch immer darauf an, WAS du rechnest!!
Wenn du

10,63 g

rausbekommst, dann hast du einen Fehler in deinem Ansatz oder einen Vorzeichenfehler in deiner Rechnung. Das richtige Ergebnis ist, egal mit welchem (richtigen) Ansatz du rechnest natürlich immer das gleiche, nämlich ca.

10,16737 g

.

Du musst dir darüber klar werden, was diese Werte aus der Tabelle bedeuten und wie du sie dann für dein Beispiel verwendest. Einen Wert, der aus einem bestimmten Überlegungsansatz stammt zu nehmen und in eine Formel einzusetzen, die von einem anderen Ansatz stammt, geht natürlich meistens schief.
Und da du deine Ansätze und Rechnunen nicht detailliert hier angibst kann man auch nicht feststellen, wo deine Fehler sitzen.

R

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14:38 Uhr, 19.09.2016

Sorry für die späte Antwort.

Ich werde das Beispiel nochmal rechnen und dann in ganzer länge hier posten.

MfG

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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