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Normeigenschaften

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Tags: Normeigenschaften nachweisen

Haseandreas aktiv_icon

18:14 Uhr, 20.05.2022

Liebe Mathefreunde,
ich habe einen Normnachweis in Analysis zu führen, bei dem mir der Nachweis oder das Widerlegen der Definitheit und der Dreiecksungleichung schwer fällt. Die Homogenität habe ich nachgewiesen.
Es geht um die folgende Norm:

∥∥x∥∥ = Wurzel (x1^2−

x 1 x 2 + x 2^{2})

wobei

x = (x 1, x 2)

R^{2}

Bei der Dreiecksungleichung beginne ich mit ∥∥x+y∥∥, quadriere, um die Wurzel zu beseitigen, und erhalte nach Anwenden der Definition der gegebenen Norm und Ausmultiplizieren eine Summe aus dieser Norm für

x

plus dieser Norm für

y

plus dem Skalarprodukt von

x

mit

y

minus einem Ausdruck, der eine Determinante ist. Wie komme ich weiter?
Bei der Definitheit habe ich das Gefühl, dass die Norm nur beim ullvektor 0 sein kann, aber der Beweis gelingt mir nicht.
Ich freue mich wie immer auf eure konstruktive Hilfe und grüße herzlich durchs Gewitter
Haseandreas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

18:19 Uhr, 20.05.2022

"Bei der Definitheit habe ich das Gefühl, dass die Norm nur beim ullvektor 0 sein kann, aber der Beweis gelingt mir nicht."

Folgt aus

x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} - 0.5 x_{2})^{2} + 0.75 x_{2}^{2}

.
Diese Darstellung kann man auch nutzen, um die Dreiecksungleichung zu beweisen.

Haseandreas aktiv_icon

18:27 Uhr, 20.05.2022

Oh, besten Dank, das ist sofort einleuchtend, wenn man den Wald trotz lauter Bäumen sieht, prima. Definitheit ist damit sofort klar.
Dreiecksungleichung probiere ich gleich und melde mich bei Problemen nochmal.
Bis dann
Haseandreas

Kartoffelchipsman aktiv_icon

19:01 Uhr, 20.05.2022

Mal aus der Reihe ein Beweis per linearer Algebra:

s : R^{2} \times R^{2} \to R

mit

s ((\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}), (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix})) := (x_{1}, y_{1}) \cdot (\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix})

ist eine symmetrische Bilinearform.

Ist sie zudem noch positiv definit, ist

q : R^{2} \to R_{\geq 0}

mit

q ((\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})) := \sqrt{s ((\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}), (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}))}

(D)eine Norm.

Die positive Definitheit kann man mit dem Hauptminoren-Kriterium beweisen:

| (1) | = 1, | (\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 1 \end{matrix}) | = \frac{3}{4}

.

Den Stoff dazu gibt's

z . B

. in Fischers LinA1, Kapitel

5 . .

Haseandreas aktiv_icon

20:31 Uhr, 20.05.2022

Danke, das ist sehr interessant, ich darf mich leider nur der Analysis bedienen.

Haseandreas aktiv_icon

20:40 Uhr, 20.05.2022

Lieber Dr. Boogie,
Bei der Dreiecksungleichung habe ich wie im Bild zu sehen ist gerechnet. Wie komme ich mit den 4 Summanden unten weiter, um sie zum Abschätzen nutzen zu können?
LG
Haseandreas

DrBoogie aktiv_icon

20:59 Uhr, 20.05.2022

Das ist zu viel Rechnerei.
Wegen

x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} - 0.5 x_{2})^{2} + 0.75 x_{2}^{2}

gilt

∥ (x_{1}, x_{2}) ∥ = ∥ (x_{1} - 0.5 x_{2}, \sqrt{0.75} x_{2}) ∥_{2}

, wobei

∥ \cdot ∥_{2}

die euklidische Norm ist.
Und da für die euklidische Norm die 3Ecksungleichung erfüllt ist, haben

∥ (x_{1}, x_{2}) + (y_{1}, y_{2}) ∥ = ∥ (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}) ∥ = ∥ (x_{1} + y_{1} - 0.5 x_{2} - 0.5 y_{2}, \sqrt{0.75} x_{2} + \sqrt{0.75} y_{2}) ∥_{2} =

= ∥ (x_{1} - 0.5 x_{2}, \sqrt{0.75} x_{2}) + (y_{1} - 0.5 y_{2}, \sqrt{0.75} y_{2}) ∥_{2} \leq

\leq ∥ (x_{1} - 0.5 x_{2}, \sqrt{0.75} x_{2}) ∥_{2} + ∥ (y_{1} - 0.5 y_{2}, \sqrt{0.75} y_{2}) ∥_{2} = ∥ (x_{1}, x_{2}) ∥ + ∥ (y_{1}, y_{2}) ∥

Haseandreas aktiv_icon

21:37 Uhr, 20.05.2022

Danke für diesen tollen Kniff, ich hoffe, irgendwann auch dieses Wissen aufgebaut und den Blick für solche Zusammenhänge gewonnen zu haben. Beeindruckend, vielen vielen Dank.
Haseandreas

Kartoffelchipsman aktiv_icon

22:42 Uhr, 20.05.2022

Deine Norm wird übrigens durch ein Skalarprodukt induziert

(was für eine Norm nicht notwendig, aber wünschenswert ist) ,

nämlich die Funktion

s

von meinem Beitrag zuvor. Sei

< x, y > := x_{1} \cdot y_{1} - \frac{1}{2} \cdot x_{2} \cdot y_{1} - \frac{1}{2} \cdot x_{1} \cdot y_{2} + x_{2} \cdot y_{2}

mit

x, y \in R^{2}

dieses Skalarprodukt.

Dann ist

\sqrt{< x, x >}

Deine Norm .

Die Dreiecksungleichung kann man jetzt auch

ganz klassisch per Cauchy-Schwarz zeigen:

0 \leq < x + y, x + y > = < x, x > + 2 \cdot < x, y > + < y, y >

\leq < x, x > + 2 \cdot \sqrt{< x, x >} \cdot \sqrt{< y, y >} + < y, y > = {(\sqrt{< x, x >} + \sqrt{< y, y >})}^{2}

\Rightarrow

\sqrt{< x + y, x + y >} \leq \sqrt{< x, x >} + \sqrt{< y, y >}

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