Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Normen und Vollständigkeit...

Normen und Vollständigkeit...

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Analysis, Banachraum, Funktionalanalysis, Funktionenraum, Mathematik, Norm, vollständigkeit

anonymous

16:55 Uhr, 25.05.2019

Hallo!

Ich habe den Raum der stetigen Funktionen von dem Intervall

[0,1]

nach

ℝ^{n}

gegeben

(C ([0,1]; ℝ^{n}))

mit der Norm

{| | f | |}_{C ([0,1]; ℝ^{n})} =

supremum

{| | f (x) | |}_{2}

mit

x \in [0,1]

({| | . | |}_{2}

ist die Euklidische Norm auf

ℝ^{n})

. Es ist bekannt, dass dies ein Banachraum ist also folglich auch vollständig.
Jetzt will ich zeigen, dass sich die Vollständigkeit von

C ([0,1]; ℝ^{n})

durch die Äquivalenz von

ℝ^{n}

-Normen überträgt. (Denn es ist ebenfalls bekannt, dass alle Normen auf

ℝ^{n}

äquivalent sind.)

Kann mir jemand helfen? Ich kenne die Definitionen von Äquivalenz von Normen und auch die von Vollständigkeit (Jede Cauchy-Folge Konvergiert. Oder gibt es noch andere Kriterien???) aber ich weiß nicht wie ich das Ganze zusammenführen soll...

Danke!!

LG Max Stuthmann

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

17:44 Uhr, 25.05.2019

Hallo,
deine Frage ist unverständlich:
auf welchen Raum mit welcher Norm oder Metrik soll sich die Vollständigkeit
übertragen ????
Gruß ermanus

anonymous

18:25 Uhr, 25.05.2019

Also es geht um den Raum aller stetigen Funktionen der Form

[0,1] \to ℝ^{n}

. (wir haben ihn in der Vorlesung

C ([0,1]; ℝ^{n})

genannt.) Die dazugehörige Norm ist mir durch

{| | f | |}_{C ([0,1]; ℝ^{n})} =

Supremum

{| | f (x) | |}_{ℝ^{n}}

mit

x \in [0,1]

gegeben.(Also hier eine beliebige Norm von

ℝ^{n})

. Jetzt ist mir aus der Vorlesung bekannt, dass

C ([0,1]; ℝ^{n})

mit der Norm

{| | f | |}_{C ([0,1]; ℝ^{n})} =

Supremum

{| | f (x) | |}_{2}

mit

x \in [0,1]

ein Banachraum ist.

{| | . | |}_{2}

ist die Euklidische Norm und definiert durch

{| | x | |}_{2} = \sqrt{\sum_{j = 1}^{n} x_{j}^{2}}

für

x \in ℝ^{n}

. Also da wir wissen, dass

(C ([0,1]; ℝ^{n}), {| | . | |}_{2})

ein Banachraum ist, wissen wir, dass er Vollständig ist. Vollständigkeit bedeutet, dass jede Cauchy-Folge darin konvergiert. Die Metrik ist natürlich die aus der Norm induzierte Metrik. Bedeutet:

d_{C ([0,1]; ℝ^{n})} (f, g) = {| | f - g | |}_{C ([0,1]; ℝ^{n})} =

Supremum

{| | f (x) - g (x) | |}_{2}

für

f, g \in C ([0,1]; ℝ^{n})

.

Nun ist bekannt, dass alle Normen auf

ℝ^{n}

äquivalent sind. Äquivalenz von Normen bedeutet:

Seien

{| | . | |}_{a}

und

{| | . | |}_{b}

zwei Normen auf

ℝ^{n}

. Sie sind äquivalent, wenn Zahlen

0 < m < M

existieren sodass gilt:

m \cdot {| | . | |}_{a} \leq {| | . | |}_{b} \leq M \cdot {| | . | |}_{a}

Jetzt muss ich eigentlich zeigen in einer Aufgabe, dass der Funktionenraum

C ([0,1]; ℝ^{n})

mit der Norm

{| | f | |}_{C ([0,1]; ℝ^{n})} =

Supremum

{| | f (x) | |}_{ℝ^{n}}

für jede Norm auf

ℝ^{n}

ein Banachraum also Vollständig ist. Da ich weiss, dass er mit der Euklidischen Norm Vollständig ist, will ich nun zeigen, dass durch die Äquivalenz von den Normen auf

ℝ^{n}

auch die Vollständigkeit bezüglich der Norm "übertragen" wird...

Ich hoffe es ist ein wenig detaillierter und verständlicher.

LG Max Stuthmann

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1471019

1470990

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?