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Nullfolge beweisen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Folgen, grenzprozesse

JuliaM92 aktiv_icon

16:52 Uhr, 14.11.2009

Siehe angefügtes Bild, Nr.5: Zeigen Sie, dass die Differenzenfolge (an-g) eine Nullfolge ist.

1] Zuerst einmal verstehe ich nicht, was die Differenzenfolge (an-g) ist/bzw. bedeutet.

2] Ich weiß zwar, dass man zunächst an-g ausrechnen muss und dann: I(an-g)-0I < $ϵ$ rechnen muss... Doch wie kommt man auf diesen Rechenansatz?? Warum wird das so gerechnet?

3] Und wie muss das Ergebnis aussehen (z.B. n > $1 - 5 ϵ$ ) , damit man sagt: Ja, das ist eine Nullfolge oder nein, das ist keine Nullfolge!? Also bei welchem Ergebnis ist es eine Nullfolge - bei welchem Ergebnis ist es keine Nullfolge??

4] Zudem verstehe ich die Nr.5 d) nicht.

Ich bitte dringend um Hilfe!! :)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Astor aktiv_icon

17:33 Uhr, 14.11.2009

Hallo,
also

b_{n} = \frac{3 n - 2}{n + 2} - 3

ist Nullfolge.

Beweis.
Sei

ε > 0

beliebig vorgegeben.

Nun suche eine Zahl N, sodass für alle n>N gilt:

/ b_{n} / < ε

d.h.

/ \frac{3 n - 2}{n + 2} - 3 / = / \frac{3 n - 2 - 3 * (n + 2)}{n + 2} / = / \frac{3 n - 2 - 3 n - 6}{n + 2} / = / \frac{- 6}{n + 2} / < ε

das bedeutet:

6 < ε * (n + 2) < = > 6 - 2 * ε < n * ε < = > \frac{6 - 2 * ε}{ε} < n

Gruß Astor

hagman aktiv_icon

17:35 Uhr, 14.11.2009

Die Aufgabenstellung wäre vielleicht verständlicher, wenn da

a_{n} = \frac{3 n - 2}{n + 2}

statt einfach

\frac{3 n - 2}{n + 2}

stünde.
Wenn du jednfalls beispielsweise

a_{n} - g = \frac{3 n - 2}{n + 2} - 3 = \frac{(3 n - 2) - 3 (n + 2)}{n + 2} = - \frac{8}{n + 2}

ausrechnest, ist zu entscheiden, of letzteres eine Nullfolge ist.
In solch einem Fall (Konstante durch

n +

irgendwas), sollte man das einfach "sehen", aber seien wir mal explizit:
Sei

ε > 0

(aber ansonsten beliebig).
Dann ist

| a_{n} - g | < ε

\Leftrightarrow | - \frac{8}{n + 2} | < ε

\Leftrightarrow \frac{8}{n + 2} < ε

\Leftrightarrow 8 < ε (n + 2)

\Leftrightarrow \frac{8}{ε} < n + 2

\Leftrightarrow n > \frac{8}{ε} - 2

Also haben wir in der Tat

| a_{n} - g | < ε

für alle

n > N

(sofern wir nur

N \geq \frac{8}{ε} - 2

wählen, was wir in der Tat dürfen).

d)

geht genau wie alle anderen:

a_{n} - g = \frac{3 \cdot 2^{n} + 2}{2^{n + 1}} - \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 2^{n} + 2 - \frac{3}{2} \cdot 2^{n + 1}}{2^{n + 1}} = \frac{2}{2^{n + 1}} = \frac{1}{2^{n}}

und das sollte ebenfalls eine bereits bekannt Nullfolge sein.

JuliaM92 aktiv_icon

18:07 Uhr, 14.11.2009

und was bedeutet: "Differenzenfolge (an-g)" ?

DerFahnder aktiv_icon

18:13 Uhr, 14.11.2009

Gemeint ist die Folge, die entsteht, wenn du die Ausgangsfolge nimmst und einfach noch

g

subtrahierst.

JuliaM92 aktiv_icon

18:17 Uhr, 14.11.2009

Ist DIe Differenzenfolge (an-g) also sozusagen eine EIGENE Folge für sich??

DerFahnder aktiv_icon

18:19 Uhr, 14.11.2009

Ja genau und von der sollst du dann zeigen, daß sie Nullfolge ist.
So würde ich das zumindest verstehen, wenn die Aufgaben da an sind.

Eigentlich müsstest du hinschreiben: Von den Aufgaben ist keine lösbar, da ich an-g nicht bilden kann, da an nirgendwo gegeben ist ;-)

JuliaM92 aktiv_icon

14:36 Uhr, 15.11.2009

Okay, das Rechenverfahren habe ich jetzt verstanden...

Doch was ich immernoch nciht verstehe: Wie man jeweils das Ergebnis deutet???

Also bei welchem Ergebnis man sagen kann: Ja, der vermutete Grenzwert war richtig, und bei was für einem Ergebnis man sagen kann: Nein, der vermutete Grenzwert ist falsch??

JuliaM92 aktiv_icon

15:38 Uhr, 15.11.2009

???

Kosekans aktiv_icon

16:25 Uhr, 15.11.2009

Vielleicht hilft es dir, die Definition mit

ε,

dem Grenzindex

N

und dem Differenzbetrag mal in Worten aufzuschreiben und dir zu überlegen, was du damit überhaupt zeigst.

Du gibst dir ein beliebiges

ε

vor (die einzige Bedingung an das

ε

ist, dass es grösser als 0 sein muss. Es ist wichtig, dass genau die 0 die untere Schranke ist!). Dann suchst du ein

N,

also einen Folgenindex, sodass für alle

n > N,

also für alle Folgenglieder die nach

a_{N}

kommen, der Differenzbetrag

| a_{n} - g | < ε

bleibt.

Der vermutete Grenzwert ist richtig, wenn die Folge des Differenzbetrags

| a_{n} - g |

den Grenzwert 0 hat, sprich wenn du den Grenzindex

N

(DER VON

ε

ABHÄNGT!!!) für ALLE

ε > 0

ausrechnen kannst. Mit anderen Worten gibst du dir einen beliebig kleinen Abstand

ε

vom Grenzwert vor und rechnest dann aus, ab welchem Grenzindex

N

ALLE Folgenglieder innerhalb dieses Abstands liegen.
Die Betragstriche um die Differenz

a_{n} - g

sagen aus, dass du den Abstand

ε

jeweils links UND rechts um den Grenzwert betrachtest; dies ist zum Bespiel bei alternierenden Folgen wichtig.

Setzt man - jetzt mal der Einfachheit halber - die Eigenschaft "Nullfoge" von

\frac{1}{2^{n}}

voraus, dann ist der Grenzwert dann richtig, wenn die Rechnung beispielsweise

| \frac{1}{2^{n}} | < ε

ergibt.

Wenn du hingegen

| 1 + \frac{1}{2^{n}} | < ε

hättest, würdest du ja an das

ε

die Bedingung stellen, dass es grösser als 1 sein muss. Dies steht aber im Widerspruch dazu, dass die Rechnung mit dem Differenzbetrag für ALLE

ε > 0

gelten sollte, insbesondere also auch für die zwischen 0 und 1.

JuliaM92 aktiv_icon

18:08 Uhr, 15.11.2009

Wann deutet das Ergebnis dann kurz gesagt auf eine Nullfolge hin??? (bzw. wann ist das Ergebnis allgemein die Bestätigung des gewählten Grenzwerts????)

Kosekans aktiv_icon

23:54 Uhr, 15.11.2009

"Wann ist das Ergebnis eine Bestätigung für den gewählten Grenzwert?"

So doof es klingt: Wenn sich zu JEDEM

ε

ein Index

N

finden lässt, ...und so weiter.

Allgemein muss es doch so sein: Je mehr sich

ε

der 0 nähert, umso weiter draussen muss der Index

N

liegen. Man kann sich als Stütze für korrekte Grenzwerte merken, dass

n \to \infty

für

ε \to 0

. Beim Einsetzen von

ε = 0

muss sich eine Division durch 0 ergeben.

Folgende zwei Fälle für falsche Grenzwerte können nun auftreten (Beispiel erste Aufgabe)

1)

Grenzwert ist zu niedrig gewählt (Vermutung:

g = 2,999) :

| \frac{3 n - 2}{n + 2} - 2,999 | = | \frac{0,001 n - 7,998}{n + 2} | < ε \Rightarrow n < \frac{7,998 + 2 ε}{0,001 - ε}

. Lässt man

ε

nun gegen 0 laufen, erhält man

n \leq 7998

. Dies bedeutet, dass die Folge ab dem

7999

-sten Folgenglied den als Grenzwert vermuteten Wert übersteigt. Tatsächlich hat das

7999

-ste Folgenglied den Wert

2,999000125

2)

Grenzwert zu hoch gewählt (Vermutung:

g = 3,001) :

| \frac{3 n - 2}{n + 2} - 3,001 | = | \frac{(3 n - 2) - 3,001 (n + 2)}{n + 2} | = | \frac{- 0,001 n - 8,002}{n + 2} | < ε \Rightarrow n < - \frac{2 ε + 8,002}{ε + 0,001}

. Man sieht hier dass sich für

n

überhaupt keine sinnvollen Werte ergeben. Das liegt daran, dass alle

ε,

die grösser als 0 sind eben noch zu gross sind. Selbst wenn

ε = 0

ist oder sogar geringfügig negative Werte annimmt, reicht es nicht. Erst wenn man für

ε

etwas einsetzt, das kleiner als

- 0,001

ist, also beispielsweise

- 0,0011

ergeben sich "sinvolle"

n

. Für

- 0,0011

zum Beispiel

7272,54 . .

. Das bedeutet dass du einen negativen Abstand (negatives

ε)

bräuchtest. Dies ist natürlich unter der Voraussetzung

ε > 0

totaler Quatsch, aber auf der anderen Seite auch logisch, da du ja um einen zu groß gewählten Grenzwert eine Umgebung legen kannst in der überhaupt keine Folgenglieder mehr liegen.

Kannst du nachvollziehen wie ichs meine?

JuliaM92 aktiv_icon

13:36 Uhr, 18.11.2009

1) Grenzwert ist zu niedrig gewählt (Vermutung: g=2,999):

|3n-2n+2-2,999|=|0,001n-7,998n+2|<ε⇒n<7,998+2ε0,001-ε. Lässt man ε nun gegen 0 laufen, erhält man n≤7998. Dies bedeutet, dass die Folge ab dem 7999 -sten Folgenglied den als Grenzwert vermuteten Wert übersteigt. Tatsächlich hat das 7999 -ste Folgenglied den Wert 2,999000125.

---> da habe ich jetzt verstanden, dass man z.B. hier wegen n<7998 den Wert 7998 auch in die Anfangsfolge einsetzen muss, also in $\frac{3 n - 2}{n + 2}$ , und dass da dann 2,999000125 rauskommt... Doch was sagt das einem dann??

[und das 2) verstehe ich irgendwie gar nicht =(]

JuliaM92 aktiv_icon

14:08 Uhr, 18.11.2009

nochmal was: Ist es einfach so, dass es IMMER so sein muss: umso kleiner epsilon, umso größer muss n sein!!!

stimmt das so??

Also wenn das so ist, ist damit der Grenzwert dann IMMER bewiesen`?

Kosekans aktiv_icon

15:57 Uhr, 20.11.2009

"Ist es einfach so, dass es IMMER so sein muss: umso kleiner

ε,

umso größer muss

n

sein."
Ja das ist so! Denn

ε

ist ja der Abstand vom Grenzwert, je kleiner dieser wird, umso größer muss ja der Index

n

der Folgenglieder werden. Da zu

a_{n \to \infty}

der Abstand

ε = 0

gehört, stimmt der Grenzwert dann, wenn für

n \to \infty

für

ε \to 0

1)

nochmal:
Wenn du die Konvergenzdefinition mit einem zu kleinen Grenzwert ansetzt, passiert folgendes: Du bekommst eben beim (gedanklichen) Einsetzen von

ε = 0

(hinschreiben darfst du das in einem Beweis nicht) für

n

keinen Wert, der über alle Grenzen wächst, sondern eine Grenze, die deine

n' s

in zwei Bereiche teilt, nämlich die, für die die Bedingung (Folgenwert

<

vermuteter Grenzwert) erfüllt ist und die, für die die Bedingung nicht mehr erfüllt ist, da jetzt (Folgenwert

\geq

vermuteter Grenzwert) ist. Diese Grenze ist beim vermuteten Grenzwert

2,999

der Index

n = 7998

. Beim Grenzwert 3 würde diese Teilung in die beiden Bereiche (Bedingung erfüllt) und (Bedingung nicht erfüllt) nicht auftreten.

zu

2)

Wenn dich obige Ausführungen zu sehr verwirren, vielleicht nur soviel: Bei zu gross gewähltem Grenzwert

(> 3)

ergibt der Term auf der rechten Seite (bei diesem Beispiel) immer negative Werte für

n :

ε = 100 \Rightarrow n < - 2,08

ε = 10 \Rightarrow n < - 2,8

ε = 2 \Rightarrow n < - 5,99

ε = 1 \Rightarrow n < - 9,99

ε = 0,1 \Rightarrow n < - 81,2

ε = 0,01 \Rightarrow n < - 729,2

ε = 0,001 \Rightarrow n < - 4002

ε = 0 \Rightarrow n < - 8002

(Je mehr sich

ε

also der 0 nähert, "desto schlimmer wird es", weil negative

n

ja keinen Sinn machen, da

n

der Folgenindex ist und damit zwangsläufig

> 0

sein muss.

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