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Nullvektor des R3 und lineare Abhängigkeit

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Tags: Lineare Unabhängigkeit, Nullvektor

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19:49 Uhr, 10.11.2007

Hallo,

ich brauche bei dieser Aufgabe dringent HIlfe, da ich keine Ahnung habe wie diese funktioniert. Könnte mir einer die Aufgabe erklären bzw. auch ausrechnen?!

Stellen Sie den Nullvektor des $ℝ³$ als eine nichttriviale (nicht alle Koeffizienten sind gleich Null) Linearkombination von Vektoren

$v_{1} = (\begin{matrix} \begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} \begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix} \\ 3 \end{matrix}), v_{3} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix} \\ 3 \end{matrix})$

dar. Sind die Vektoren $v_{1}$ , $v_{2}$ , $v_{3}$ linear unabhängig oder linear abhängig (Begründung!)?

Vielen Dank!

Paulus

20:29 Uhr, 10.11.2007

Hallo WODKA

du hast also die Gleichung zu lösen:

$x * v_{2} + y {* v}_{2} + z * v_{3} = 0$

das führt zu einem Gleichungssystem, weil alle drei Koordinaten null sein müssen:

$| \begin{matrix} - x - y + z = 0 \\ \begin{matrix} 2 x + 2 y + 2 z = 0 \\ x + 3 y + 3 z = 0 \end{matrix} \end{matrix} |$

Mit der allgemeinen Lösung

$x = 3 λ, y = - 2 λ, z = λ$

Wenn $λ \neq 0$ ist, dann hast du den Nullvektor als nichttriviale Linearkombination von $v_{1}$ bis $v_{3}$ dargestellt. Die drei Vektoren sind also linear abhängig.

Zum Beispiel ergibt $λ = 1$ folgende Darstellung:

$3 * v_{1} - 2 * v_{2} + v_{3} = 0$

Das kannst du, wenn du willst, auch umstellen, um di lineare Abhängigkeit besser einzusehen:

$v_{3} = {- 3 v}_{1} {+ 2 v}_{2}$

Alles klar?

Gruss

Paul

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21:31 Uhr, 10.11.2007

Toll! Vielen lieben Dank. Ist ja doch nicht sooo schwer wie ich gedacht habe ;)

Wie kommst du aber nach der LG zum allg. Ergebnis?

Paulus

22:48 Uhr, 10.11.2007

Hallo WODKA

na, einfach nach Schema F auflösen: (ich meine Schema Gauss)

$| \begin{matrix} \begin{matrix} - x - y + z = 0 \\ 2 x + 2 y - 2 z = 0 \end{matrix} \\ x + 3 y + 3 z = 0 \end{matrix} |$

Das Doppelte der ersten Gleichung zur zweiten addieren, und die erste Gleichung zur dritten, damit unten die x wegfallen:

$| \begin{matrix} \begin{matrix} - x - y + z = 0 \\ 0 + 0 - 0 = 0 \end{matrix} \\ 0 + 2 y + 4 z = 0 \end{matrix} |$

Die mittlere Gleichung kann entfallen, und die dritte dividiere ich noch durch 2:

$| \begin{matrix} - x - y + z = 0 \\ 0 + y + 2 z = 0 \end{matrix} |$

Die untere Gleichung zur oberen addieren, damit oben y wegfällt:

$| \begin{matrix} - x + 0 + 3 z = 0 \\ 0 + y + 2 z = 0 \end{matrix} |$

Damit es etwas schöner wird, die erste Gleichung noch mit (-1) multiplizieren:

$| \begin{matrix} x + 0 - 3 z = 0 \\ 0 + y + 2 z = 0 \end{matrix} |$

Das sind 2 Ebenengleichungen, die sich in einer Geraden schneiden. Um den Richtungsvektor zu erhalten, kannst du einfach mal z = 1 setzen. Damit ergibt die erste Gleichung für x eine 3, und die zweite Gleichung für y -2.

Ein Richtungsvektor der Schnittgeraden ist also:

$(\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \\ - 2 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix})$

Somit hat die Gerade die Gleichung

$λ * (\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \\ - 2 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix})$

Alle Vektoren dieser Form erfüllen das Gleichungssystem.

Vergleiche dazu die allgemeine Lösung, wie ich sie in der ersten Antwort angegeben habe.

Alles klar?

Gruss

Paul

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23:44 Uhr, 10.11.2007

Super, danke für die ausführliche Erklärung ich habe mich einmal verrechnet daher gings bei mir nicht so auf ;)

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