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Numerik: Matrizen N0 und M Matrix

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Sonstiges

Tags: Matrix, Tridiagonalmatrix

 
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tomy84

tomy84

14:12 Uhr, 11.07.2009

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1. Was ist eine N0 Matrix und was eine M Matrix.
2. Wo ist der große Vorteil bei Tridiagonalmatrizen bzg. LR-Zerlegung oder Householder, Gauß etc.
3. Zur genauen Fragestellung: finite Differenzenverfahren für ein lineares RWP 2.Ordnung: Überlege effiziente Lsg. von linearen Gleichungssystem mit Tridiagonalmatrizen!



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tomy84

tomy84

15:58 Uhr, 12.07.2009

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Also,
hab mal folgende Ansätze gefunden:
1. Zu M-Matrix:
Vorab kurz Definition L(0)- Matrix:
Matrix A heißt L(0) Matrix, falls für die Elemente a(i,j) gilt: a(i,j)≤0 für i≠j
Jetzt M-Matrix: falls A eine reguläre L(0)-Matrix ist, mit der Inversen A(-1) und A(-1)≥0 (dh seien b(i,j) die Einträge der Matrix A(-1), dann gilt für alle i,j:
b(i,j)≥0 (immer vorausgesetzt, dass, wenn A aus R(nxn)ist, i,j im Bereich 0≤i,j≤n liegen)
2. Ist eine Matrix A eine oder Tridiagonalmatrix, mit a(i,j)≤0 und a(j,i)=a(i,j) so folgt, dass A eine Diagonalmatrix (und damit invertierbar, falls a(i,i)≠0 für alle i) ist.
2.1 Für Tridiagonalmatrizen: Ist a(i,i)>0, so ist A ebenfalls diagonalisierbar und invertierbar
IN der Praxis heißt das doch (?), dass ich implizite Verfahren für ein AWP der Form x(k+1)=x(k)+A(x(k+1)) umformen kann in (Id -A)(x(k+1))=x(k), aber kann ich das nicht immer?
Und es bleibt immer noch eine weitere Frage, woher ich wissen soll, dass a(i,i)≠0 gilt, bzw. dass alle Eigenwerte ≠0 sind. (Meine Idee ist, dass das am Verfahren liegen könnte, also die Tridiagonalmatrix stammt ja aus der multiplikation mit y=y(h)(x(k)) für k=0...N, also dem jeweilig vorhergehenden Ergebnis x(k-1), dem nachfolgendem Ergebnis x(k+1) und dem aktuellen Ergebnis x(k). Sind dabei alle drei gleich 0 entsteht ein Widerspruch zur Eindeutigkeit des gegebenen AWP ->vgl. AWP y'=(1 durch sqtr(|x|)) mit y(2)=1
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