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Nutzenfunktion VWL

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Tags: Mikroökonomie, Nutzenfunktion, Optimierung, vwl

bunkinm aktiv_icon

02:21 Uhr, 29.11.2017

Hallo,

ich hätte eine kurze Frage zu der folgenden Nutzenfkt. :

U (x 1, x 2) =

Wurzel(x1)

+

wurzel(x2)

x 1

stellt die Anzahl von Bonbons dar und

x 2

die Anzahl von Wasser.

Ich versuche jetzt schon seit einer Weile folgende Aufgabe zu lösen:

a)

Leiten Sie von der angegebenen Nutzenfunktion jeweils die Nachfrage nach Bonbons und nach Wasser ab.

Ich habe die Langrage Methode benutzt und komme nach dem Umformen nach

x 1, x 2

und Lamda dadrauf:

0.5x^-0.5/px1 = 0.5y^-0.5/px2

Leider weiß ich nicht wie es weiter gehen sollen...

Ich hoffe wirklich jemand kann mir helfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Enano

03:21 Uhr, 29.11.2017

Hallo,

die Nachfrage ist doch abhängig von den Preisen für diese Güter und dem zur Verfügung stehenden Budget.

Dies musst du doch in Form der Budgetrestriktion

(C = p_{1} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot x_{2})

bei der Anwendung der Lagrange-Methode berücksichtigen.

bunkinm aktiv_icon

11:07 Uhr, 29.11.2017

Dann würde das ja so aussehen:

x 1^{0.5} + x 2^{0.5} -

Lamda (px1*x1+px2*x2-m)

Und dann jeweils nach

x 1, x 2

und Lamda ableiten ergibt dann ja :

Für

x 1 : 0.5 x 1^{- 0.5}

/px1

Für

x 2 : 0.5 x 2^{- 0.5}

/px2

Für Lamda: px1*x1+px2*x2

Dann müsste ich da die Gleichung

x 1

und

x 2

gleichsetzten und da krieg ich das wie oben genannt raus

\frac{:}{}

bunkinm aktiv_icon

11:07 Uhr, 29.11.2017

Atlantik aktiv_icon

11:33 Uhr, 29.11.2017

Mit Lagrange kann ich es nicht, drum herkömmlich:

Bitte auf Fehler prüfen!

U (x_{1}, x_{2}) = \sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}

C = p_{1} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot x_{2} \to \frac{C - p_{1} \cdot x_{1}}{p_{2}} = x_{2}

U (x_{1}) = \sqrt{x_{1}} + \sqrt{\frac{C - p_{1} \cdot x_{1}}{p_{2}}} = \sqrt{x_{1}} + \sqrt{(\frac{C}{p_{2}} - \frac{p_{1} \cdot x_{1}}{p_{2}})}

[\sqrt{x_{1}} + \sqrt{(\frac{C}{p_{2}} - \frac{p_{1} \cdot x_{1}}{p_{2}})}

]

= \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x_{1}}} - \frac{p_{1}}{2 \cdot p_{2} \sqrt{(\frac{C}{p_{2}} - \frac{p_{1} \cdot x_{1}}{p_{2}})}}

\frac{1}{\sqrt{x_{1}}} - \frac{p_{1}}{p_{2} \sqrt{(\frac{C}{p_{2}} - \frac{p_{1} \cdot x_{1}}{p_{2}})}} = 0 | \cdot \sqrt{x_{1}} \cdot p_{2} \sqrt{(\frac{C}{p_{2}} - \frac{p_{1} \cdot x_{1}}{p_{2}})}

p_{2} \sqrt{(\frac{C}{p_{2}} - \frac{p_{1} \cdot x_{1}}{p_{2}})} = p_{1} \cdot {\sqrt{x}}_{1} |^{2}

p_{2}^{2} \cdot (\frac{C}{p_{2}} - \frac{p_{1} \cdot x_{1}}{p_{2}}) = p_{1}^{2} \cdot x_{1}

p_{2} \cdot C - p_{1} \cdot p_{2} \cdot x_{1} = p_{1}^{2} \cdot x_{1}

p_{1}^{2} \cdot x_{1} + p_{1} \cdot p_{2} \cdot x_{1} = p_{2} \cdot C

x_{1} = \frac{p_{2} \cdot C}{p_{1}^{2} + p_{1} \cdot p_{2}}

x_{2} = . .

U = . .

.

mfG

Atlantik

SonyPB aktiv_icon

12:23 Uhr, 29.11.2017

Enano

12:35 Uhr, 29.11.2017

L = \sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} + λ \cdot (C - p_{1} \cdot x_{1} - p_{2} \cdot x_{2})

\frac{\partial L}{\partial x_{1}} = \frac{1}{2 \cdot {\sqrt{x}}_{1}} - λ \cdot p_{1} = 0

II)

\frac{\partial L}{\partial x_{2}} = \frac{1}{2 \cdot {\sqrt{x}}_{2}} - λ \cdot p_{2} = 0

III)

\frac{\partial L}{\partial λ} = C - p_{1} \cdot x_{1} - p_{2} \cdot x_{2} = 0

\frac{1}{2 \cdot {\sqrt{x}}_{1}} = λ \cdot p_{1}

II)

\frac{1}{2 \cdot {\sqrt{x}}_{2}} = λ \cdot p_{2}

I)/II):

\frac{\frac{1}{2 \cdot {\sqrt{x}}_{1}}}{\frac{1}{2 \cdot {\sqrt{x}}_{2}}} = \frac{λ \cdot p_{1}}{λ \cdot p_{2}} \Rightarrow \frac{2 \cdot {\sqrt{x}}_{2}}{2 \cdot {\sqrt{x}}_{1}} = \frac{p_{1}}{p_{2}} \Rightarrow x_{2} = {(\frac{p_{1}}{p_{2}})}^{2} \cdot x_{1}

In III) einsetzen :

C - p_{1} \cdot x_{1} - p_{2} \cdot {(\frac{p_{1}}{p_{2}})}^{2} \cdot x_{1} = 0

\Rightarrow x_{1} = \frac{C \cdot p_{2}}{p_{1} \cdot (p_{1} + p_{2})}

\Rightarrow x_{2} = \frac{C \cdot p_{1}}{p_{2} \cdot (p_{1} + p_{2})}

bunkinm aktiv_icon

13:07 Uhr, 29.11.2017

Hast du deinen Rechenweg entfernt, oder sehe ich den einfach nicht?? @SonyPB

SonyPB aktiv_icon

13:13 Uhr, 29.11.2017

U (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{\frac{1}{2}} + x_{2}^{\frac{1}{2}}

II.

m = p_{1} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot x_{2}

Zielfunktion:

III.

L (x_{1}, x_{2}, λ) = x_{1}^{\frac{1}{2}} + x_{2}^{\frac{1}{2}} - λ \cdot (p_{1} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot x_{2} - m)

Optimierung:

\frac{\partial L (x_{1}, x_{2}, λ)}{\partial x_{1}} = \frac{1}{2} \cdot x_{1}^{\frac{- 1}{2}} - λ p_{1} = 0

\frac{\partial L (x_{1}, x_{2}, λ)}{\partial x_{2}} = \frac{1}{2} \cdot x_{2}^{\frac{- 1}{2}} - λ p_{2} = 0

Nach

λ

Umstellen und Gleichsetzen ergibt den "Optimalen Konsumpfad":

IV.

x_{1} = (\frac{p_{2}}{p_{1}})^{2} \cdot x_{2}

IV. in die "Budgetrestriktion" II. einsetzen, ergibt die "Marshallschen Nachfragefunktionen":

x_{1} (p_{1}, p_{2}, m) = \frac{m}{p_{1}} \cdot (\frac{p_{1}}{p_{2}} + 1)^{(- 1)}

x_{2} (p_{1}, p_{2}, m) = \frac{m}{p_{2}} \cdot (\frac{p_{2}}{p_{1}} + 1)^{(- 1)}

IV. in die Nutzenfunktion für ein vorgegebenes Nutzenniveau

\overline{U} = U (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{\frac{1}{2}} + x_{2}^{\frac{1}{2}}

einsetzen, ergibt die "Hick'schen Nachfragefunktionen":

x_{1} (p_{1}, p_{2}, \overline{U}) = \overline{U} \cdot (\frac{p_{1}}{p_{2}} + 1)^{(- 2)}

x_{2} (p_{1}, p_{2}, \overline{U}) = \overline{U} \cdot (\frac{p_{2}}{p_{1}} + 1)^{(- 2)}

Ich hoffe, ich habe bei den Indizes keine Fehler gemacht. Rechne es lieber nochmal nach!

Beste Grüße

bunkinm aktiv_icon

13:25 Uhr, 29.11.2017

Kannst mit evt. sagen, wie du genau auf das Ergebnis nach dem gleichsetzten gekommen bist? (ich weiß ist nicht schwer, aber stehe total auf dem Schlauch)...
Als Lösung soll rauskommen:

x 1 =

m/2px1 und x2=m/2px2

SonyPB aktiv_icon

13:33 Uhr, 29.11.2017

λ = \frac{1}{2 \cdot p_{1}} \cdot x_{1}^{\frac{- 1}{2}} = \frac{1}{2 \cdot p_{2}} \cdot x_{2}^{\frac{- 1}{2}}

Kannst Du die vorgegebene Lösung vielleicht etwas präziser ausschreiben?

Enano

13:40 Uhr, 29.11.2017

"Als Lösung soll rauskommen:

x 1 =

m/2px1 und x2=m/2px2"

Das kommt heraus, wenn

p_{1} = p_{2}

SonyPB aktiv_icon

14:08 Uhr, 29.11.2017

Ich glaube, dass ich Dein Problem jetzt verstanden habe.

λ = \frac{1}{2 \cdot p_{1}} \cdot x_{1}^{\frac{- 1}{2}} = \frac{1}{2 \cdot p_{2}} \cdot x_{2}^{\frac{- 1}{2}}

Diese Zeile hast Du ja schon. Jetz kannst Du auf beiden Seiten mit 2 multiplizieren und anschließend auf beiden Seiten den Kehrwert bilden.

p_{1} \cdot x_{1}^{\frac{1}{2}} = p_{2} \cdot x_{2}^{\frac{1}{2}}

x_{1}^{\frac{1}{2}} = \frac{p_{2}}{p_{1}} \cdot x_{2}^{\frac{1}{2}}

Durch beidseitiges Quadrieren erhälst Du dann den "Optimalen Konsumpfad"!

x_{1} = (\frac{p_{2}}{p_{1}})^{2} \cdot x_{2}

x_{2} = (\frac{p_{1}}{p_{2}})^{2} \cdot x_{1}

Beide Lösungen sagen im Prinzip das gleiche aus und Du kannst mit beiden weiter rechnen.

Falls das Dir nicht weiterhilft, müsstest Du vielleicht Deine Frage etwas präzisieren und den vorgegebenen Lösungsvorschlag etwas detaillierter ausschreiben.

p

kann zum Beispiel in der VWL oftmals auch das relative Preisverhältnis von Gütern beschreiben.

bunkinm aktiv_icon

14:24 Uhr, 29.11.2017

Okay, bis hier hin kann ich alles nachvollziehen.
Jetzt muss ich eins von beiden in die Budgetgleichung einsetzten, jedoch bereit mir die Umformung ein wenig Schwierigkeiten.
Ach und bei der Umformung mit dem Kehrwert: wie hast du das gemacht das du die negative Exponent wegbekommen hast? (ich weiß Potenzregeln, aber habe das angewendet und kriege dann was anderes raus)
Könntest du mir vllt da helfen

\frac{:}{}

Enano

15:07 Uhr, 29.11.2017

"..., jedoch bereit mir die Umformung ein wenig Schwierigkeiten.
...und kriege dann was anderes raus"

Wenn du hier mal deine Rechnungen präsentieren würdest, könnte dir auch gezielt geholfen werden,

d . h

. dir gesagt werden, an welcher Stelle du welchen Fehler gemacht hast.

SonyPB aktiv_icon

15:15 Uhr, 29.11.2017

Sollte die vorgegebene Musterlösung

x_{1} (p_{1}, p_{2}, m) = \frac{m}{2 \cdot p_{1}}

x_{2} (p_{1}, p_{2}, m) = \frac{m}{2 \cdot p_{2}}

lauten, gilt diese Lösung für die "Cobb-Douglas-Funktion".
Die Nutzenfunktion wäre dann

U (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{\frac{1}{2}} \cdot x_{2}^{\frac{1}{2}}

und nicht

U (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{\frac{1}{2}} + x_{2}^{\frac{1}{2}}

. Bist Du sicher, dass sich die Musterlösung auf die von Dir angegebene Nutzenfunktion bezieht?

Sollte die Nutzenfunktion stimmen, muss die Musterlösung falsch sein. Der Rechenweg von Enano ist ziehmlich elegant und leicht nachvollziehbar.

bunkinm aktiv_icon

15:41 Uhr, 02.12.2017

Hallo, ich habe mich nochmals an die Aufgabe ran gesetzt.
@Enano

ich kann alle Rechenwege nachvollziehen, jedoch bereit es mir irgendwie Schwierigkeiten den Punkt
1 und 2 also

x 2 = {(\frac{p 1}{p 2})}^{2} \cdot x 1

wie bei dir in die Budgetgleichung einzusetzen und schließlich umzuformen.

Ich hoffe mir kann da jemand helfen!

bunkinm aktiv_icon

15:41 Uhr, 02.12.2017

Hallo, ich habe mich nochmals an die Aufgabe ran gesetzt.
@Enano

ich kann alle Rechenwege nachvollziehen, jedoch bereit es mir irgendwie Schwierigkeiten den Punkt
1 und 2 also

x 2 = {(\frac{p 1}{p 2})}^{2} \cdot x 1

wie bei dir in die Budgetgleichung einzusetzen und schließlich umzuformen.

Ich hoffe mir kann da jemand helfen!

Enano

16:42 Uhr, 02.12.2017

s

. Enano

15 : 07

Uhr,

29.11.17!

Außerdem hast du noch nicht Sonys Frage beantwortet:

"Bist Du sicher, dass sich die Musterlösung auf die von Dir angegebene Nutzenfunktion bezieht?"

Oder hast du dich vertippt und es müsste anstatt

U (x_{1}, x_{2}) = \sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}},

U (x_{1}, x_{2}) = \sqrt{x_{1}} \cdot \sqrt{x_{2}}

heißen?

bunkinm aktiv_icon

19:21 Uhr, 02.12.2017

Nein, die Nutzenfunktion ist richtig.

Enano

20:03 Uhr, 02.12.2017

Und wie sieht jetzt deine Rechnung aus?

bunkinm aktiv_icon

20:32 Uhr, 02.12.2017

Nach dem ich gleichsetze:

\frac{0.5 x 1^{- 0.5}}{0.5 x 2^{- 0.5}} = (

λ px1)/(λpx2)

Dann kürzen sich ja λ und

0.5

jeweils raus und nach dem quadrieren und

x 1

auf die andere Seite bringen folgt:

x 2 =

(px1/px2)^2

\cdot x 1

und das muss dann ja in die Budgetgerade.
Ich weiß nach dem einsetzten einfach nicht wie ich dann den optimalen Konsum für

x 1

herausfinden soll sprich wie ich das umforme. Ich habe auch kein Ansatz.

Enano

01:44 Uhr, 03.12.2017

C - p_{1} \cdot x_{1} - p_{2} \cdot {(\frac{p_{1}}{p_{2}})}^{2} \cdot x_{1} = 0

C - p_{1} \cdot x_{1} - p_{2} \cdot \frac{p_{1}^{2}}{p_{2}^{2}} \cdot x_{1} = 0

p_{2}

kürzen:

C - p_{1} \cdot x_{1} - \frac{p_{1}^{2}}{p_{2}} \cdot x_{1} = 0

x_{1}

ausklammern:

C - x_{1} \cdot (p_{1} + \frac{p_{1}^{2}}{p_{2}}) = 0 | - C

- x_{1} \cdot (p_{1} + \frac{p_{1}^{2}}{p_{2}}) = - C | \cdot (- 1)

x_{1} \cdot (p_{1} + \frac{p_{1}^{2}}{p_{2}}) = C

Klammerausdruck auf einen Nenner bringen:

x_{1} \cdot (\frac{p_{1} \cdot p_{2} + p_{1}^{2}}{p_{2}}) = C | \cdot (\frac{p_{2}}{p_{1} \cdot p_{2} + p_{1}^{2}})

x_{1} = C \cdot (\frac{p_{2}}{p_{1} \cdot p_{2} + p_{1}^{2}})

p_{1}

ausklammern:

x_{1} = C \cdot \frac{p_{2}}{p_{1} \cdot (p_{1} + p_{2})}

bunkinm aktiv_icon

15:19 Uhr, 03.12.2017

Okay, ich danke dir wirklich sehr.
Und jetzt muss ich das doch noch in

x 2 = {(\frac{p 1}{p 2})}^{2} \cdot x 1

einsetzen, oder?

Enano

16:18 Uhr, 03.12.2017

Ja, genau.

bunkinm aktiv_icon

16:32 Uhr, 03.12.2017

Okay, danke.
Erhält man dann für

y :

y = \frac{m}{{(p 2)}^{2} + p 1}

Enano

02:18 Uhr, 04.12.2017

Wird in

x_{2} = \frac{p_{1}^{2}}{p_{2}^{2}} \cdot x_{1}

für

x_{1} = \frac{C \cdot p_{2}}{p_{1} \cdot (p_{1} + p_{2})}

eingesetzt, ergibt das:

x_{2} = \frac{p_{1}^{2}}{p_{2}^{2}} \cdot \frac{C \cdot p_{2}}{p_{1} \cdot (p_{1} + p_{2})}

x_{2} = \frac{p_{1}}{p_{2}} \cdot \frac{C}{p_{1} + p_{2}}

x_{2} = \frac{p_{1}}{p_{2}} \cdot \frac{C}{p_{1} + p_{2}}

x_{2} = C \cdot \frac{p_{1}}{p_{2} \cdot (p_{1} + p_{2})}

Das

p_{1}

darin darfst du selbstverständlich - auch wenn es ausgeklammert wäre - nicht mehr kürzen, denn aus Differenzen und Summen

. .

. .

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