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Nutzenmaximierung - Mikroökonomie 1

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: langrange, Maximierungsaufgabe, Mikroökonomik, Nutzenmaximierung, Sonstig, vwl

Tulle21 aktiv_icon

11:40 Uhr, 10.06.2023

Hey,

ich arbeite gerade ein paar VWL Übungen nach und komme bei einer Aufgabe nicht weiter, vielleicht kann mir einer von euch helfen?

Die Aufgabe lautet ungefähr so:

Lina hat

800

Euro pro Monat zur verfügung.
Sie kauft damit Güterbündel

Y

für 1 Euro pro Einheit und Gut

D

für 5 Euro pro Einheit.

Ihre Präferenzen können durch folgende Nutzenfunktion beschrieben werden:

u (D, Y) = 2 D^{0,5} Y^{0,5}

a)

Bestimmen sie Linas Budgetgerade (hab ich gemacht)

b)

Berechnen Sie die Menge

D \cdot

und

Y \cdot,

welche Ihren Nutzen maximiert.

c)

Nehmen Sie nun an, dass der Preis für Gut

D

auf 6 Euro steigt und berechnen Sie die neue nutzenmaximierenden Mengen

D ⋆

und

Y ⋆

.

Vielen Dank! :-)

KL700 aktiv_icon

11:53 Uhr, 10.06.2023

Ein Überblick:
studyflix.de/wirtschaft/nutzenmaximierung-81

Tulle21 aktiv_icon

12:14 Uhr, 10.06.2023

Vielen Dank für die schnelle Antwort! Ich habe das auch schon gesehen, mich verwirrt nur die veränderte Nutzenfunktion mit der 2 vor dem

D . .

pivot aktiv_icon

15:33 Uhr, 10.06.2023

Hallo,

der Lagrange-Ansatz ist

L = U (D, Y) + λ (B - K (D, Y))

L = 2 D^{0, 5} \cdot Y^{0, 5} + λ (800 - 5 D - 1 Y)

Die partiellen Ableitungen sind:

\frac{\partial L}{\partial D} = 0, 5 \cdot 2 \cdot D^{- 0, 5} \cdot Y^{0, 5} - λ \cdot 5 = 0

\frac{\partial L}{\partial Y} = 0, 5 \cdot 2 \cdot D^{0, 5} \cdot Y^{- 0, 5} - λ \cdot 1 = 0

Die 2 als konstanter Faktor bleibt bei der Ableitung erhalten.

Die Terme mit

λ

auf die rechte Seite:

0, 5 \cdot 2 \cdot D^{- 0, 5} \cdot Y^{0, 5} = λ \cdot 5

0, 5 \cdot 2 \cdot D^{0.5} \cdot Y^{- 0, 5} = λ \cdot 1

Die erste Gleichung durch die zweite Gleichung teilen

\frac{0, 5 \cdot 2 \cdot D^{- 0, 5} \cdot Y^{0, 5}}{0, 5 \cdot 2 \cdot D^{0, 5} \cdot Y^{- 0, 5}} = \frac{λ \cdot 5}{λ \cdot 1}

Nun kann man 0,5 und 2 und

λ

kürzen.

Zur Frage: Man sieht, dass der Faktor 2 keinen Einfluss auf die Optimalitätsbedingung hat.

\frac{D^{- 0, 5} \cdot Y^{0, 5}}{D^{0, 5} \cdot Y^{- 0, 5}} = \frac{5}{1}

\frac{D^{- 0, 5}}{D^{0.5}} = D^{- 0.5} \cdot D^{- 0, 5} = D^{- 0, 5 - 0, 5} = D^{- 1} = \frac{1}{D}

\frac{Y^{0, 5}}{Y^{- 0, 5}} = Y^{0, 5} \cdot Y^{- (- 0, 5)} = Y^{0, 5 + 0, 5} = Y^{1} = Y

Also ergibt sich

\frac{Y}{D} = 5 \Rightarrow Y = 5 D (*)

Partiellle Ableitung nach

λ

\frac{\partial L}{\partial λ} = 800 - 5 D - 1 Y = 0

(*) einsetzen und den optimalen Wert für D berechnen.

usw.

Gruß
pivot

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