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Offene und abgeschlossene Mengen
Universität / Fachhochschule
Tags: Ganze Menge
 
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anonymous 09:27 Uhr, 27.02.2019  |
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Hallo, die ganze Menge ist offen. Eine TeilMenge M (eines metrischen Raumes (X,d)) heißt ja offen, falls für alle x Element von M ein Epsilon > 0 existiert, sodass der Ball/Kugel wieder in M liegt. Also die Definition einer offenen Teilmenge ist mir klar. Im Grunde heißt das nichts anderes, als das alle Elemente von der Teilmenge M wieder von Elementen aus M umgeben sind, egal wie nah man an den Rand der Teilmenge geht. FRAGE: Der Rand gehört doch aber auch zur Teilmenge und demnach müsste doch auch hier Elemente der Teilmenge liegen, wofür die Bedingung eigentlich ja gelten müsste (was logischerweise aber ja nicht so ist). Deswegen irritiert mich glaube ich auch die Behauptung, dass die ganze Menge offen ist, denn nehme ich aus dem Rand ein x dann finde ich ja gerade keinen Ball.. Liebe Grüße Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Hallo, die "ganze Menge", also der ganze Raum hat gar keinen Rand bzgl. der Topologie von , also . Gruß ermanus |
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anonymous 12:01 Uhr, 27.02.2019 |
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ALso wenn ich jetzt von der Menge X spreche und hierauf eine Metrik definiere z.B. in den reelen Zahlen durch für alle x,y Element R. Also ist die Metrik def. durch die Abbildung RxR --> [0, unendlich) Nehme ich jetzt die ganze Menge so sprechen wir von ganz R oder ? ___ Ich glaube das Problem ist gerade, dass ich mir nicht darüber im Klaren bin, was eigentlich genau der metrische Raum ist. Wenn ich von einem metrischen Raum spreche, meine ich dann nur meine Menge X auf die die Metrik definiert ist, also in diesem Fall ganz R. Falls ganz R der metrische Raum und meine ganze Menge ist dann ist ja klar, dass es keinen Rand geben kann, weil ich für alle Elemente aus R immer einen Ball/Kugel finde, sodass diese wieder in R liegen. (R ist ja auch unendlich) |
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Ich ahne, dass du ein Verständnisproblem bei Unterraumtopologie hast. Ich mache ein Beispiel, das für dich einen Rand zu haben scheint: , also abgeschlossene Einheitskreisscheibe. Als Metrik wählen wir den euklidischen Abstand. Wenn einen Randpunkt bzgl. der Metrik in hätte, dann müsste für diesen gelten: Jede Umgebung von enthält mindestens einen Punkt in , als auch einen Punkt im Komplement von , also in . Letzteres ist aber ja nicht möglich. Also hat keinen Rand in , d.h. . Was dich verwirrt, ist dass als Teilmenge des Raumes ja ganz offensichtlich einen Rand hat. Nun zeige ich dir noch an einem Beispiel, dass die scheinbaren Randpunkte in Wirklichkeit innere Punkte von sind. Wir betrachten den Punkt . Dann liegt jeder -Ball mit Mittelpunkt trivialerweise innerhalb : . Da man ja nur Elemente betrachtet. Gruß ermanus |
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anonymous 17:02 Uhr, 27.02.2019 |
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@ermanus, verstehe ich das richtig, dass es bei dem ersten Beispiel keinen Randpunkt geben kann, weil angenommen p wäre ein Randpunkt, dann durch die Definition gefordert wird, dass es eine Umgebung um p gibt, sodass ein Element Element von der Menge X ist und ein Element in der MEnge des Komplementes von X (hier die leere Menge) wäre. Letzteres ist aber nicht möglich, da die leere Menge ja eigentlich keine Elemente besitzt und somit kann dort kein Element zu finden sein? Zu dem zweiten Beispiel: Damit hast du gezeigt, dass der Epsilon-Ball (der ja nur die Elemente aus X enthält) immer wieder Teilmenge von x ist. Es ist ja egal wie groß oder klein ich mein Epsilon wähle, denn ich finde immer x Element von X, sodass der euklidische Abstand kleiner ist. --> Ich glaube hier war das Problem, dass ich mir graphisch an der geschlossenen Einheitsscheibe zunächst überlegt hatte, dass wenn ich eine Epsilon Umgebung um den Punkt p=(1/0) male, dass der ganze Kreis ja außerhalb X liegen würde. Nur darauf kommt es ja nicht an, sondern der Ball ist ja anders definiert ... |
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Ja, ich glaube, du hast das nun verstanden :-) |
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anonymous 07:58 Uhr, 28.02.2019 |
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@ermanus nochmal vielen Dank. Eine Frage habe ich dann noch und zwar wäre dann folgende Begründung dafür, dass die leere und die gesamte Menge offen und abgeschlossen sind: -Die leere Menge ist offen, weil es kein Element gibt, um das ein Ball existieren müsste. Das Komplement der leeren Menge ist wieder die leere Menge und da diese offen ist, ist die leere Menge auch abgeschlossen. -Die ganze Menge X (der gesamte Raum) ist abgeschlossen, weil das Komplement der ganzen Menge wieder die leere Menge ist, die offen ist. Der gesamte Raum ist offen, weil für jedes Element ein Ball B(Epsilon,x) existiert, sodass dieser wieder in X liegt. (Könnte ich an dieser Stelle dann auch den Rand mit ins Spiel bringen ?) Bzw. gilt die Behauptung, dass wenn ich gar keinen Rand habe die Menge automatisch offen sein muss? Liebe Grüße |
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Hallo, das Komplement der leeren Menge ist der ganze Raum, nicht die leere Menge. Bei den Offenheits-/Abgeschlossenheits-Eigenschaften des ganzen Raumes - nennen wir ihn - und der leeren Menge würde ich den Rand nicht ins Spiel bringen. Das ist eher verwirrend ! Ich würde so argumentieren wie du es im Wesentlichen tust: 1. ist offen, da jeden Ball enthält. 2. ist offen, da "jeder Punkt von " ein innerer Punkt ist (leere Aussage). 3. ist abgeschlossen, da das Komplement, die leere Menge, offen ist. 4. ist abgeschlossen, weil das Komplement, , offen ist. Gruß ermanus |
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anonymous 11:50 Uhr, 28.02.2019 |
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Ich verstehe den Sinn hinter einer leeren Aussage gerade nicht, die leere Menge ist offen, weil jedes Element aus der leeren Menge (falsche Prämisse) ein innerer Punkt ist (Das Innere einer Teilmenge ist ja eben die Teilmenge ohne ihren Rand). Könnte ich dann nicht auch sagen, dass jedes Element aus der leeren Menge von einem Ball Teilmenge der leeren Menge umgeben ist. Also durch eine falsche Prämisse kann ich ja eigentlich alles möglich folgern und belege somit meine Behauptung, dass die leere MEnge offen ist ?? |
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Das ist im Prinzip dasselbe. Ich meine, dass immer wahr ist. Ich definiere übrigens einen inneren Punkt einer Menge als einen solchen, für den ein existiert mit . Die Menge aller ineren Punkte ist das Innere von . Ich würde nicht so häufig mit dem Rand argumentieren wollen, vor allem dann nicht, wenn der Rand die leere Menge ist. Ich finde das eher kontraintuitiv. |
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anonymous 12:13 Uhr, 28.02.2019 |
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Alles klar, denn wie ich gerade gelesen habe ist das eine Menge ja auch genau dann offen wenn sie ihrem Inneren entspricht... Danke ! |
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