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Offenheit einer Teilmenge zeigen

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Tags: diskrete Metrik, Offenheit

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23:52 Uhr, 26.06.2012

Tag zusammen,

Aufgabenstellung:

Gegeben: diskrete Metrik

d (x, y) = {1

für

x \neq y, 0

für

x = y}

Zu zeigen:

U \subset M \Rightarrow U

ist offen

Wie kann ich das zeigen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

23:55 Uhr, 26.06.2012

Hi,

mit der Standardmethode: Es gibt eine

ɛ

-Umgebung von einem Punkt

x \in U

, die komplett in der Menge

U

liegt. Schreib dir dafür die genaue Definition einer

ɛ

-Umgebung hin und dann überleg dir, wie dein

ɛ > 0

gewählt sein muss...

Gruß
Sina

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23:55 Uhr, 26.06.2012

Wenn

x \in U

liegt, so enthält

U

immer auch die ganze offene Kugel vom Radius

\frac{1}{2}

x

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23:36 Uhr, 27.06.2012

Ich versteh das leider nicht

: S

hagman aktiv_icon

01:04 Uhr, 28.06.2012

Eine Teilmenge

U

eines metrischen Raumes(X,d) heißt offen genau dann, wenn für jedes

x \in U

stets ein

ε > 0

existiert, so dass alle

y \in X

mit der Eigenschaft

d (x, y) < ε

ebenfal

sin U

liegen.
Bei der diskreten Metrik und einer beliebigen Teilmenge

U

kann man zu jedem

x \in U

einheitlich

ε = \frac{1}{2}

wählen, denn aus

d (x, y) < \frac{1}{2}

folgt bereits

y = x

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23:21 Uhr, 28.06.2012

Wir haben auch genau den Hinweis bekommen, dass die Definition ausreicht, um die Aufgabe zu lösen.
Aber wie kommst du denn jetzt auf

ε = \frac{1}{2}

???

Sina86

13:42 Uhr, 29.06.2012

Er kommt auf

ɛ = \frac{1}{2}

weil er erstens die Aufgabe schon kennt und zweitens

\frac{1}{2} < 1

ist. Schreib doch mal die Definition vom

ɛ

-Ball hin, und überleg mal, welche Punkte in diesem Ball liegen...

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16:19 Uhr, 01.07.2012

Du meinst warscheinlich die \epsi-Kugel oder?
Die Definition wäre:

\forall x \in U : \exists ε > 0 : U_{ε} (x) \subset U

Was ist genau hiermit gemeint:

U_{ε} (x)

hagman aktiv_icon

16:43 Uhr, 01.07.2012

U_{ε} (x)

soll wohl die epsilon-Umgebung von

x

bezeichnen oder auch die offene Kugel vom Radius

ε

x,

also die Menge all derjenigen Punkte

y \in M,

für die

d (x, y) < ε

gilt. Allerdings solltest eher du diese Frage beantworten können, denn du hast dieesen Bezeichner hier als erster verwendet

Übrigens habe ich

ε = \frac{1}{2}

eigentlich nur gewählt, weil ich dachte, die Wahl

ε = 1

(die ebenfalls ausreicht) würde zu Verwirrung führen. Andererseits wird man auf

ε = 1

eigentlich brutal mit der Nase gestoßen, wenn man anfängt, die Aufgabe zu durchdenken:
Es soll ja jede beliebige Teilmenge von

M

offen sein, insbesondere also einpunktige Mengen der Form

U = {x}

mit

x \in M

.
Auch hier muss es per Definition von Offenheit in metrischen Räumen also ein

ε > 0

geben mit der Eigenschaft, dass aus

d (x, y) < ε

stets

y \in U

folgt. Andererseits ist für

y \neq x

gewiss

d (x, y) = 1

und es darf also wegen

y \notin {x}

nicht

d (y, x) < ε

sein. Mehr Einschränkungen als dies ("es darf nicht

ε > 1

sein" fallen einem auf Anhieb nicht auf, also liegt es sehr nahe, alles mit

ε = 1

noch einmal durchzurechnen.

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