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Optimierungsproblem Zylinder

Schüler gymnasiale Orientierungsstufe,

Tags: Optimierungsaufgabe, optimierungsproblem, Zylinder

Iltosebil aktiv_icon

20:03 Uhr, 19.06.2011

Hallo !

Ich habe eine sehr schwierige Aufgabe von meinem Mathelehrer bekommen und komme einfach nicht weiter, also würde ich mich sehr über Hilfe freuen.

Die Frage ist: Oberfläche einer Cappuccinodose (Zylinder) minimal bzw. optimal?

Höhe: 14,5cm Durchmesser: 10cm Oberfläche 612,6cm

Die Fromel für die minimale Oberfläche habe ich schon errechnet und mein Lehrer hat bestätigt, dass diese richtig ist:

O = 2 r π \cdot h +

r²

π

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

DmitriJakov aktiv_icon

20:08 Uhr, 19.06.2011

Die Formel für die Oberfläche stimmt nicht ganz, sie muss lauten:

O = 2 r π h + 2 r^{2} π

Schliesslich hate die Dose ja einen Deckel und einen Boden

Es ist mir jetzt allerdings nicht ganz klar, was Du optimieren sollst, denn die Dose ist ja vollständig determiniert, ja eigentlich sogar überdeterminiert.

Iltosebil aktiv_icon

20:27 Uhr, 19.06.2011

Wir sollen herausfinden, ob die gleiche Menge auch in eine Dose reinpassen würde, wofür weniger Material benörtigt wurde.

ThunderAl aktiv_icon

20:31 Uhr, 19.06.2011

Ich weiß ja nicht, worauf Euer Lehrer genau raus will, aber vielleicht denkst Du mal an andere Körper, ob die bei gleichem Volumen evtl eine kleinere Oberfläche haben...

Gruß Alex

vergiss es, das war Unsinn von mir...

DmitriJakov aktiv_icon

20:33 Uhr, 19.06.2011

ok, Deine Zielfunktion ist also

O = 2 r π h + 2 r^{2} π

und die Nebenbedingung ist:

V = r^{2} π \cdot h = 5^{2} \cdot π \cdot 14,5 = 1651,3 c m^{3}

ups, habe mich wohl beim TR vertippt.

V = 1138,8

Iltosebil aktiv_icon

20:48 Uhr, 19.06.2011

Nein, wir sollen schon bei Zylindern bleiben.

Man hat zum Beispiel einen zylinder wo meinetwegen 700cm³ kaffee reinpassen und der eine höhe von 10cm und einen radius von 5cm hat und nun soll ich berechenen ob das die optimale dose ist oder ob diese kleiner sein könnte, also optimierungsproblem

DmitriJakov aktiv_icon

20:51 Uhr, 19.06.2011

itosebil: hast Du meinen Hinweis gelesen und verstanden?

Iltosebil aktiv_icon

20:54 Uhr, 19.06.2011

Ja habe Ich und Danke, aber das ist ja nur das normale Volumen das habe ich schon ausgerechnet...
Man soll die Oberfläche verändern.
Bei der minimalen Größe der Dose muss man die Höhe neu berechnen und den Raius auch, also muss man erstmal die Formel für die Oberfläche nach

h

auflösen. Aber ich weiß nicht wie...

DmitriJakov aktiv_icon

21:06 Uhr, 19.06.2011

Langsam mit den jungen Pferden :-)
Deine Zielfunktion ist

O,

das ist schonmal richtig. Diese hängt nun von

r

und

h

ab. Da wird es schwierig mit der Optimierung. Aber Du hast ja die Nebenbedingung, nämlich das gegebene Volumen.

Nun kannst Du in Deiner Zielfunktion entwerder

r

oder

h

eliminieren, indem Du die Volumensformel entweder nah

r

oder

h

auflöst und das Ergebnis in die Oberflächenformel einsetzt.

Ich mache es mal mit r:

V = 1138 = r^{2} π h | \div π h

\frac{1138}{π h} = r^{2}

r = \sqrt{\frac{1138}{π h}}

eingesetzt in

O = 2 r π h + 2 r^{2} π

O = 2 \cdot \sqrt{\frac{1138}{π h}} \cdot π \cdot h + 2 \cdot \frac{1138}{π h} \cdot π

Du kannst aber aquch nach

h

auflösen und einsetzen, was Dir geeigneter erscheint.

Die Formel für die Oberfläche ist nun nur noch von einer Variablen abhängig. Bilde die erste Ableitung, setze sie Null und löse diese Gleichung. Vergewissere Dich mit der zweiten Ableitung, daß Du ein Minimum ermittelt hast.

Iltosebil aktiv_icon

21:33 Uhr, 19.06.2011

Tausendmal danke ! Ich habe das jetzt nach

h

umgestellt und da kommt das Ergebnis für die Oberfläche

= 4649,5

raus. Jetzt weiß ich nur nicht so genau wie ich die erste Ableitung machen soll, bei mir kommt da ein ganz unlogisches Ergebnis raus...

Iltosebil aktiv_icon

21:41 Uhr, 19.06.2011

Also als Forel für

O

habe ich jetzt

2 r h \frac{1138}{}

pi*r²

+

r²

π

und das kann man doch kürzen und darraus entsteht:

2 r \frac{1138}{r} + 2

r²

π

oder?

DmitriJakov aktiv_icon

21:58 Uhr, 19.06.2011

Also, wenn Du die Volumensformel nach

h

umstellst, dann bekommst Du:

h = \frac{1138}{r^{2} π}

eingesetzt in

O = 2 r π h + 2 r^{2} π

wird das:

O = 2 r π \frac{1138}{r^{2} π} + 2 r^{2} π

gekürzt:

O = \frac{2 \cdot 1138}{r} + 2 r^{2} π

Iltosebil aktiv_icon

23:04 Uhr, 19.06.2011

ALSO : Ich habe die Antwort.

r = 5,65

und

h = 11,35

und wenn man diese werte in die formel von der oberfläche einsetzt dann kommt dieses ergebnis raus:

438,42

Ich denke das ist richtig, aber könntest du das vielleicht nochmal nachrechnen?

Vielen, vielen Dank !

DmitriJakov aktiv_icon

23:09 Uhr, 19.06.2011

r

und

h

stehen etwa im Verhältnis

1 : 2,

es passt also ;-)
Durchmesser und Höhe sollen gleich groß sein, dann ist für das umschlossene Volumen die Oberfläche minimal.

Iltosebil aktiv_icon

23:13 Uhr, 19.06.2011

Als Gesamtergebnis für die Oberfläche habe ich jetzt doch

603,5

raus und nicht

438,4

Welches Ergebnis ist richtig? Ich brauche bitte nochmal deine Hilfe

DmitriJakov aktiv_icon

23:23 Uhr, 19.06.2011

r = 5,65; h = 11,35

O = 2 r π h + 2 r^{2} π

O = 2 \cdot 5,65 \cdot 3,14 \cdot 11,35 + 2 \cdot {5,65}^{2} \cdot 3,14

O = 402,72 + 200,47 = 603,19

V = r^{2} π h

V = {5,65}^{2} \cdot 3,14 \cdot 11,35 = 1138

Das Volumen stimmt, und die Oberfläche ist kleiner als zu Beginn.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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