Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Ordnung von Gruppen und Isomorphismus

Ordnung von Gruppen und Isomorphismus

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, Isomoprhimus

Underfaker aktiv_icon

17:49 Uhr, 11.01.2012

Eine "leichtere" Frage habe ich noch:

1. Gesucht ist die Ordnung der vier Elemente in

ℤ_{4}^{+}

und

ℤ_{5}^{\cdot}

\0
2. Es ist ein Isomorphismus zwischen den beiden Gruppen anzugeben (ohne Beweis)
3.

z

z

ℤ_{9}

ist nicht isomorph zu

ℤ_{3} \times ℤ_{3}

1. Ich bin mir nicht sioher ob ich das richtig verstanden habe.
Ordnung:=

m

ℤ_{4} = {{[0]}_{4}, {[1]}_{4}, {[2]}_{4}, {[3]}_{4}}

{[0]}_{4} \to m = 1

{[1]}_{4} \to m = 3

{[2]}_{4} \to m = 1

{[3]}_{4} \to m = 3

für

ℤ_{5} :

{[1]}_{5} \to m = 1

{[2]}_{5} \to m = 3

{[3]}_{5} \to m = 1

{[4]}_{5} \to m = 1

Ist das richtig? Wenn ich das richtig verstanden habe muss man jedes Element m-mal mit sich selbst verknüpfen, sodass das neutrale Element rauskommt, es muss gelten

m \in ℕ

und

m

muss minimal sein, dann ist

m

die Ordnung dieses Elements.

2.

Hier wusste ich überhaupt nichts (das Thema liegt mir bis jetzt noch nicht), ich habe etwas dazu gefunden:

das neutrale Element muss auf das neutrale Element abgebildet werden also:

f : ℤ_{4} \to ℤ_{5}

mit

f (0) = 1

und dann noch:

f (2) = 4

f (3) = 3

f (1) = 2

f (1 + 2) = 3 = 2 \cdot 4 = f (1) \cdot f (2)

und

f (1 + 3) = 1 = 2 \cdot 3 = f (1) \cdot f (3)

Ist das richtig?, wenn ja kann mir jemand die letzten beiden Zeilen erklären, wieso bspw

f (1 + 3) = 1

ist.

3. Hier habe ich noch gar keinen Anhaltspunkt...

Für Hilfe wäre ich dankbar, einen schönen Abend :-)

michaL aktiv_icon

20:56 Uhr, 11.01.2012

Hallo,

die Ordnungen der Elemente sind teilweise falsch.
Die Ordnung von 2 in

ℤ_{4}

ist selbst 2, nicht 1. Außerdem hat KEIN Element in

ℤ_{4}

die Ordnung 3, da die Elementordnung IMMER ein Teiler der Gruppenordnung sein muss!

Analog in

ℤ_{5}^{*}

: Die Gruppe hat vier ELemente, also hat kein Element die Ordnung 3.
Grundsätzlich hat nur ein einziges Element die Ordnung 1: das neutrale Element.

Was den Isomorphismus anbelangt: beide Gruppen werden von einem Element erzeugt, d.h. sie sind zyklisch. Wenn du den Erzeuger der einen Gruppe auf einen der anderen abbildest, dann ergibt das sicher einen Isomorphismus.

Zur dritten Aufgabe: Welches ist die höchste Ordnung von Elementen in

ℤ_{3} \times ℤ_{3}

?

Hinweis: Bei Isomorphismen bleibt die Ordnung von Elementen erhalten.

Mfg Michael

Underfaker aktiv_icon

21:43 Uhr, 11.01.2012

Unser Dozent hat angegeben, dass die Ordnung die kleinste natürliche Zahl

m

ist sodass das element m-mal mit sich selbst verknüpft das neutrale Element ergibt.

{[2]}_{4} : {[2]}_{4} + {[2]}_{4}

ist doch 4 und somit eben 0 und 0 ist doch beim Additiven das neutrale Element.

Wieso sollte das 2 sein, zweimal mit sich selbst verknüpft kommt ja 6 raus.

Wenn das nicht so bestimmt wird mit dem Verknüpfen wie dann? Also wonach muss ich dann gucken?
Dasselbe für

ℤ_{5}

Was bedeutet: "Eine Gruppe wird durch ein Element erzeugt" ? Was ist denn hier der Erzeuger?
Muss ich nicht noch mehr auf etwas anderes abbilden, als den Erzeuger auf den anderen?
Tut mir leid wenn das unbeholfen klingt aber ich bin ja hier weil ich eben noch nciht alles kann. :-)

Zu drittens, da ich wie oben gesehen scheinbar falsche Vorstellungen von Ordnung habe, könnte ich das wohl nicht beantworten aber in der Aufgabe ist angegeben, dass jedes Element die Ordnung kleiner gleich 3 hat, also wohl 3?

Die Elemente können also nur die Ordnung 1 und 3 haben, weil siehe deine Aussage oben (Teiler der Ordnungszahl) und in

ℤ_{9} 1,3

oder 9. Kann es also sein, dass es unterschiedliche Ordnungen gibt, sodass ein Isomorphismus auszuschließen ist?

hagman aktiv_icon

23:59 Uhr, 11.01.2012

Wieviele Summanden hast du denn in dem Ausdruck

{[2]}_{4} + {[2]}_{4}

? Ich sehe 2 :-)

-

Wenn du wie hier eine Element findest, dessen Ordnung gleich der Gruppenordnung ist, dann handelt es sich um Erzeuger. Wenn zwei Gruppen

G = 〈 a 〉

und

H = 〈 b 〉

zyklisch sind und beide dieselbe Ordnung haben, dann gibt es einen Isomorphismus, der

a \mapsto b

abbildet. Mann kann die Abbildung vollständig angeben, wenn man will: Es is tnotwendigerweise

1 \mapsto 1

sowie weiter

a \circ a \mapsto b \circ b, a \circ a \circ a \mapsto b \circ b \circ b

usw.

Underfaker aktiv_icon

09:49 Uhr, 12.01.2012

Ja eben Es gibt zwei Summanden weil 2 einmal mit sich selbst verknüpft ist nicht zweimal. Und dieses einmal verknüpfen bedeutet für mich

m = 1

. Vielleicht hat unser Dozent das auch unglücklich ausgedrückt.

Ich hatte nämlich erst die Ordnungen

1,2,4,2

die nämlich der Logik folgen die du angedeutet hast.

entsprechend kommen bei

ℤ_{5}

auch

1,4,4,2

raus

So nun gibt es ein Problem, "der Erzeuger" ist nicht eindeutig in

ℤ_{4}

haben

{[1]}_{4}

und

[

3]_4 die Ordnung 4 womit sie beide oder auch nciht Erzeuger wären.

Dasselbe in

ℤ_{5}

mit

[2]

und

[3]

.

es zwei Erzeuger gibt, weiß ich nciht welchen ich auf welchen abbilden muss. Im übrigen glaube ich, dass

1 \to 1

nicht richtig ist, sondern

0 \to 1

da ja das neutrale Element in

ℤ_{4} 0

ist. Also

f (0) = 1

f (1) = 2

(Erzeuger auf Erzeuger)

f (3) = 3

(Wieder Erzeuger auf Erzeuger)

f (2) = 4

(bleibt übrig)

Was ist mit dem Gedanken zur letzten Aufgabe? Ging das schon in die Richtung oder war etwas anderes gemeint?

Vielen Dank schonmal :-)

Underfaker aktiv_icon

23:03 Uhr, 12.01.2012

Vielen Dank für die Hilfe und die Ansätze. :-)

961659

960967

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?