Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Orthogonalbasis mittels Vektor- oder Skalarprodukt

Orthogonalbasis mittels Vektor- oder Skalarprodukt

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Orthogonalbasis, Skalarprodukt, Vektorprodukt

vaider aktiv_icon

20:13 Uhr, 31.01.2013

Hallöchen,

ich habe 2 linear unabhängige Vektoren gegeben und soll mit Hilfe von Vektor- oder Skalarprodukt eine Orthogonalbasis bilden.

Ich tue mich gerade etwas schwer damit. Suche ich jetzt einen zusätzlichen Vektor, sodass 0 rauskommt, wenn ich alle drei multipliziere oder nur ein Skalar oder bin ich komplett auf dem Holzweg?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Flächeninhalte
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Volumen einer Pyramide

prodomo aktiv_icon

07:23 Uhr, 01.02.2013

Verstehe ich richtig: du hast eine Basis mit

2 l . u

. Vektoren, die aber weder orthogonal noch normiert sind, und willst das ändern ?

Bummerang

07:57 Uhr, 01.02.2013

Hallo,

zum Glück habe ich gerade meinen Kaffee und den Filter noch nicht entleert, so ist es mir möglich, die Aufgabenstellung um die weggelassenen Teile zu ergänzen und den Lösungsfahrplan zu skizzieren:

Wir sind im

ℝ^{3}

(schließlich haben wir das Vektorprodukt) und haben zwei linear unabhängige Vektoren und wir sollen eine Orthonormalbasis erzeugen (für eine Orthogonalbasis braucht man das Skalarprodukt ja nicht). Also bildet man mittels Vektorprodukt einen dritten Vektor, der orthogonal auf den beiden gegebenen liegt. Wenn man nun einen der beiden gegebenen Vektoren und den eben errechneten Vektor (diese beiden sind ja schon orthogonal) für ein erneutes Vektorprodukt hernimmt, erhält man einen dritten Vektor, so dass diese drei Vektoren eine Orthogonalbasis ergeben. Nach der oben angegebenen Aufgabenstellung ist man jetzt schon fertig, ohne das Skalarprodukt verwendet zu haben. Jetzt also nur noch das Skalarprodukt auf alle drei Vektoren angewandt und schon hat man eine Orthonormalbasis.

vaider aktiv_icon

13:52 Uhr, 01.02.2013

Hallo ihr beiden,

sorry, wenn ich nicht die ganze Aufgabenstellung geschrieben habe. Es soll aus den beiden l.u.Vektoren jeweils eine OrthoGonalbasis

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in R^{3}

gebildet werden.

Und da steht wirklich Orthogonal und nicht Orthonormalbasis. Bleibt das Vorgehen trotzdem das gleiche?

Die zwei Vektoren sind

\vec{v} = (\begin{array}{rcl} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})

\vec{w} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})

anonymous

09:45 Uhr, 11.02.2013

(\begin{array}{rcl} 2 & 1 & 2 \end{array})

(\begin{array}{rcl} 1 & - 1 & 1 \end{array})

# y ist orthogonal zu v und zu w

y:=v x w=

(\begin{array}{rcl} 1 * 1 + 1 * 2 & 2 * 1 - 2 * 1 & - 2 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 3 & 0 & - 3 \end{array})

y*v=0
y*w=0

# z ist orthogonal zu v und zu y

z:=v x y=

(\begin{array}{rcl} - 3 * 1 + 0 & 3 * 2 + 3 * 2 & 0 - 1 * 3 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - 3 & 12 & - 3 \end{array})

z*v=0
z*y=0

# Damit sind die 3 Vektoren v,y,z zueinander orthogonal und bilden eine Orthogonalbasis im R^3

Danke.

vaider aktiv_icon

14:43 Uhr, 11.02.2013

Warum sagst du Danke? Ich habe zu danken! In diesem Sinne rechtherzlichen Dank!

1072745

1070079

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?