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Orthogonale Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

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11:26 Uhr, 04.05.2011

Meine Frage:
Hallo bitte bei folgender Aufgabe um Starthilfe.

Es seien

A, B \in

Mat_n_x_n

(R) .

Zeige die folgenden Aussagen:

a)

A

ist genau dann orthogonal, wenn

A^{T}

orthogonal ist.

b) Wenn

A

orthogonal ist, dann ist

A^{-} 1

orthogonal.

c)Wenn

A

orthogonal ist, dann ist

d e t (A) = 1

oder

d e t (A) = - 1 .

d)Wenn

A

und

B

orthogonal sind, dann ist auch

A * B

orthogonal.

Meine Ideen:
bin mir nicht sicher wie ich anfangen soll;

Es gilt ja;

a)Die Spaltenvektoren von

A

sind orthogonal
b)

A^{T} * A = I_{n}

A^{T} = A^{-} 1

A * A^{T} = I_{n}

e) Die Zeilenvektoren von

A

sind orthogonal.

Jetzt könnte ich doch eine dieser Bedingungen an einer Beispielmatrix für mich nutzen oder?

kann ich zu punkt a) so argumentieren;

Es gilt;
eine Matrix

A

ist genau dann orthogonal, wenn

A * A^{-} 1 = I_{n}

ergibt. Da wegen der Orthogonalität

A^{T}

und

A^{-} 1

zusammenhängen d.h.

A^{T}

A^{-} 1 .

gilt. Und

A

A^{T} = I_{n}

als eines der orthogonalitätskriterien erfüllt sein muss.

Kehre ich das ganze einfach um und behaupte

A

A^{T} \neq I_{n}

so ist

A

nicht orthogonal und somit kann auch

A^{T}

nicht orthogonal sein. Den wegen

A^{T} = A^{-} 1

folgt doch;

A * A^{T} = A A^{-} 1 = I_{n} .

Und da das Produkt zweier Orthogonalen Matrizen wieder eine orthogonale Matrix ist, ist im Fall von

A * A^{T} \neq I_{n}

diese Regel doch verletzt, somit gilt wenn

A

nicht orthogonal ist kann auch

A^{T}

nicht orthogonal sein.

Kann das als Gegenbehauptung gelten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

18:19 Uhr, 04.05.2011

Hi,

zum ersten Absatz, den du zu

a)

geschrieben hast:
Der Satz:

A

ist orthogonal, genau dann wenn

A \cdot A^{- 1} = I_{n}

ist falsch, denn sonst wäre jede invertierbare Matrix orthogonal. Richtig ist:

A

ist orthogonal, genau dann wenn

A^{- 1} = A^{T}

ist. Dieser Satz macht dann allerdings eine Aussage über die Matrix

A

und nicht über

A^{T}

, genau so, wie der Satz:

A \cdot A^{T} = I_{n}

eine Aussage über

A

macht und nicht über

A^{T}

. Deswegen reicht es nicht, einfach diese Gleichung hinzuschreiben und zu sagen,

A^{T}

ist orthogonal, da der Satz erst mal nicht auf

A^{T}

bezogen ist.
Ich würde hier erst einmal empfehlen, sich entweder Gedanken über die Zeilen (oder Spalten) von

A^{T}

zu machen, bzw über

(A^{T})^{- 1}

nachzudenken. Beides führt zum Erfolg.

Beim zweiten Absatz:
Hier wird es etwas problematisch. Du müsstest eigentlich zeigen, dass wenn

A

nicht orthogonal ist, was äquivalent zur Aussage

A \cdot A^{T} \neq I_{n}

ist, dann ist

A^{T}

auch nicht orthogonal. In der nächsten Zeile schreibst du dann aber wieder

A^{- 1} = A^{T}

, was wiederum bedeuten würde, dass

A

eine orthogonale Matrix wäre. Das kannst du nicht machen.
Des weiteren verwendest du hier die Aussage, dass das Produkt zweier orthogonaler Matrizen wieder orthogonal ist, was etwas unelegant ist, da du diese Aussage ja erst in

d)

zeigen möchtest. Das könnte problematisch sein!
Und letztendlich heißt

A \cdot A^{T} \neq I_{n}

nicht, dass das Produkt von

A

und

A^{T}

nicht orthogonal ist, sondern lediglich nicht die Einheitsmatrix. Es gibt aber noch unendlich viele andere orthogonale Matrizen, die evtl. dabei herauskommen könnten.
Ich würde versuchen, dieses direkt zu zeigen, d.h. zu zeigen: Wenn

A^{T}

orthogonal ist, dann ist auch

A

orthogonal. Letztendlich hilft hier dieselbe Überlegung wie oben.

Lieben Gruß
Sina

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19:01 Uhr, 04.05.2011

Danke Sina ich hab die Fragen a)b)c) jetzt fertig. Wie könnt ich Frage d) angehen?

Sina86

19:31 Uhr, 04.05.2011

Gehe doch streng nach Definition vor. Eine Matrix

C

ist orthogonal, wenn

C \cdot C^{T} = I_{n}

ist. Jetzt setzt du

C = A \cdot B

und schaust, ob diese Gleichung erfüllt ist. Aber wie immer: Das ist natürlich nicht die einzige Möglichkeit ;-)

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19:55 Uhr, 04.05.2011

hmm, geht das so?

C C^{T} = (A B) * (A B)^{T} = (A B) (A^{T} B^{T}) = (A^{T} B^{T}) (A B) = (A B)^{T} (A B) = C^{T} C = I_{n}

Sina86

20:09 Uhr, 04.05.2011

Nun, du kannst nicht einfach

C \cdot C^{T} = C^{T} \cdot C

schreiben, da im allgemeinen die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist. Und es gilt

(A \cdot B)^{T} = B^{T} \cdot A^{T}

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20:25 Uhr, 04.05.2011

C C^{T} = I < = > C^{T} C = I

(A B) (A B)^{T} = (A B) (B^{T} A^{T}) < = > (A^{T} B^{T}) (B A) = (B A)^{T} (A B) .

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20:30 Uhr, 04.05.2011

Jetzt habe ich das gemacht was ich nicht wohl nicht machen sollte. Könntest Du mir einen Rechenansatz zeigen?

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20:32 Uhr, 04.05.2011

Nun gut aber wiederrum habe ich jetzt

C C^{T} = I < = > C^{T} C = I

benutzt.

Sina86

02:02 Uhr, 05.05.2011

Richtig, das kannst du auch nicht machen... Ich verstehe nicht, warum du so versessen darauf bist zu verwenden, dass

C^{T} \cdot C = C \cdot C^{T}

ist. Du musst lediglich zeigen, dass

C \cdot C^{T} = I_{n}

gilt, dafür musst du das nur ausrechnen...

Tipp: Für Matrixmultiplikation gilt das Assoziativgesetz!

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03:18 Uhr, 05.05.2011

C C^{T} = C C^{-} 1 = I = (A B) (A B)^{T} = = (A B) (B^{T} A^{T}) = (A B) (A B)^{-} 1 = (A B) (B^{-} 1 A^{-} 1) = A (B B^{-} 1 A^{-} 1) = A (I A^{-} 1) = (A I) A^{-} 1 = I (A A^{-} 1) = l l = I^{2} = I

Sina86

14:17 Uhr, 05.05.2011

Also, das sieht schon deutlich besser aus. Allerdings ist ein Schritt drin, den du nicht machen kannst (der aber auch unnötig ist)

C \cdot C^{T} = C \cdot C^{- 1}

, denn damit verwendest du, dass

C^{T} = C^{- 1}

ist. Allerdings sollst du das ja zeigen und kannst es daher nicht annehmen. Aber den Schritt brauchst du gar nicht (genau genommen machst du das 2x, nämlich später noch einmal, wenn du schreibst

(B^{T} \cdot A^{T}) = (A \cdot B)^{- 1}

, was genau dieselbe Gleichung ist, nur mit

C = A \cdot B

eingesetzt. Und auch diese Umformung ist unnötig).

Und dann schreibst du noch mal so etwas wie

A \cdot (B \cdot B^{- 1} \cdot A^{- 1}) = A \cdot (I \cdot A^{- 1}) = (A \cdot I) \cdot A^{- 1} = I \cdot (A \cdot A^{- 1}) .

Das ist zwar nicht falsch, aber viel zu kompliziert...

Zunächst einmal sollte man im ersten Term die Klammern so setzen, dass der Leser weiß, worauf du hinauswillst. Also schreib am Besten

A \cdot (B \cdot B^{- 1}) \cdot A^{- 1}

, dann weiß der Leser, dss du jetzt die

B

-Matrizen zusammenrechnen willst.
Der Teil:

A \cdot (I \cdot A^{- 1}) = (A \cdot I) \cdot A^{- 1} = I \cdot (A \cdot A^{- 1})

ist an und für sich nicht sinnvoll, denn es stimmt zwar, dass

A \cdot I = I \cdot A

ist, aber warum willst du das machen? Viel einfacher ist, zu verwenden, dass

(I \cdot A^{- 1}) = A^{- 1}

ist, so kommst du schneller zum Ziel.

Wie gesagt: Streich die oben genannten Stellen aus dem Beweis raus (das geht definitiv nicht), der zweite Teil ist prinzipiell richtig und gibt allerhöchstens Abzüge in der B-Note ;-) Ich würds aber so einfach wie möglich machen...

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14:25 Uhr, 05.05.2011

Danke Sehr :-)

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