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Orthogonale Matrix bestimmen,Was mache ich falsch?

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung, orthogonalität

asg-2014 aktiv_icon

01:08 Uhr, 28.12.2016

Hallo zusammen,

A u f g a b e :

Finden Sie eine Belegung der Variablen

a, b \in ℤ

, so dass

A = (\begin{array}{rcl} 1 & 2 \\ a & b \end{array})

orthogonal ist.

L o e s u n g :

Damit

A

orthogonal ist, muss gelten:

A^{T} \cdot A = i d

Also:

A^{T} = (\begin{array}{rcl} 1 & a \\ 2 & b \end{array})

(\begin{array}{rcl} 1 & a \\ 2 & b \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} 1 & 2 \\ a & b \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \overset{}{\Leftrightarrow} (\begin{array}{rcl} 1 + a^{2} & 2 + a b \\ 2 + b a & 4 + b^{2} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

\Rightarrow 1 + a^{2} = 1

und

4 + b^{2} = 1 \Rightarrow a = 0

und

b^{2} = - 3

Die so ermittelten Werte für

a, b

sind offensichtlich falsch.

Kann mir bitte jemand sagen, was ich falsch mache? Die Bedingung

A^{T} \cdot A = i d

muss doch stimmen, oder?

Danke vorab

Liebe Grüße

Asg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

03:55 Uhr, 28.12.2016

Die Bedingung

A^{T} \cdot A = I,

wobei

I

die entsprechende Einheitsmatrix sei, stimmt.

Nach Definition ist:
Quadratische relle Matrizen

A \in ℝ^{n \times n},

welche die Bedingung

A^{T} \cdot A = I

erfüllen, werden als orthogonale Matrizen bezeichnet. Dabei sei

A^{T}

die transponierte Matrix und

I

die Einheitsmatrix.

Du hast auch recht, dass du keine

a, b \in ℤ

(noch nicht einmal

a, b \in ℝ)

finden wirst, so dass

(\begin{matrix} 1 & 2 \\ a & b \end{matrix})

orthogonale Matrix wird.

Man kann zeigen, dass eine Matrix

A \in ℝ^{n \times n}

genau dann eine orthogonale Matrix ist, wenn die Zeilen eine Orthonormalbasis (bzgl. Standardskalarprodukt) bilden. Also müssten die Zeilen insbesondere normiert sein. Jedoch ist für die erste Zeile

\sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5} \neq 1

.
So könnte man auch sehen, dass

(\begin{matrix} 1 & 2 \\ a & b \end{matrix})

keine orthogonale Matrix sein kann.

\\\\

Ist die Aufgabenstellung so wirklich vollständig?
Fehlt da nicht evtl. noch ein Vorfaktor

\frac{\sqrt{5}}{5},

oder irgendeine weitere Angabe?
In der angegebenen Form ist die Aufgabe jedenfalls nicht lösbar, da hast du recht.

asg-2014 aktiv_icon

15:05 Uhr, 28.12.2016

Hallo,

danke für die Antwort.

Das ist die vollständige Aufgabe. Ich lade dennoch die original Aufgabe als Bild hoch.

Stimmt - man kann es auch über die Zeilen oder Spalten (orthonormal) herausfinden, ob die Matrix orthogonal ist. Beide Methoden sind unlösbar. Ich habe es aber mit der Definition versucht.

Dann werde ich es halt so begründen, dass es unlösbar ist ...

Liebe Grüße

Asg

mihisu aktiv_icon

17:34 Uhr, 28.12.2016

Dann ist die Aufgabe tatsächlich nicht lösbar.

Da steht ein

c)

vor der Teilaufgabe. Es gibt also wohl noch andere Teilaufgaben. Kannst du mal die komplette Aufgabe angeben, mit allen Teilaufgaben. Mich würde interessieren was da gefragt wird. (Auch wenn es evtl. nichts mit der

c)

zu tun haben sollte.)

asg-2014 aktiv_icon

19:26 Uhr, 28.12.2016

Die Teilaufgaben haben nichts miteinander gemeinsam, bis auf das Thema. s. Anhang.

zu

a)

Die Vektoren sind paarweise orthogonal. Sie sind aber nicht orthonormal, da bis auf

v_{1}

alle Längen ungleich

1

haben.

b)

und

d)

muss ich noch machen ...

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